Пример 2. Является ли функция f (x) = 2x, имеющая тип N ® N, отображением, и если - да, то каким?

Является ли функция f (x) = 2 x, имеющая тип N ® N, отображением, и если - да, то каким? Имеет ли функция f обратную функцию f ^-1, и если - да, то является ли f ^-1 отображением?

Ø Функция f(x) = 2 x, f: N ´ N, всюду определена на N, однако не сюръективна, так как область значений функции f равна пр₂ f = М_2п ¹ N (область значений содержит не все натуральные числа из N, а только четные). Поэтому f является отображением N в N или преобразованием множества N.

Между областью определения пр₁ f = N и областью значений пр₂ f = М_2п имеет место взаимно однозначное соответствие: любому элементу п из N соответствует один и только один элемент 2 n из М_2п и наоборот. Поэтому функция f (х) = 2 х, f: N ® N, имеет обратную функцию f ^-1. Однако обратная функция f ^-1: N ® N не всюду определена: ее областью определения является множество четных чисел М_2п ¹ N. Поэтому обратная функция f ^- ¹ в отличие от исходной f не является отображением.

Пример

Задайте несколько возможных типов для функции f (х) = 2 ⁿ. Для каждого типа определите:

• свойства функции f;

• является ли функция f отображением и, если является, то каким?

Ø 1. Пусть тип функции f: N ® N. Тогда f (х) = 2 ⁿ всюду определена, так как пр₁ f = N, но не сюръективна, поскольку пр₂ f = М₂ⁿ ¹ N (М₂^п - множество натуральных чисел, являющихся степенями двойки). Следовательно, функция f является отображением N в N.

2. f: N ® M ₂ ⁿ. Тогда функция f всюду определена и сюръективна, следовательно, является отображением N на М ₂ ⁿ.

3. f: N ® R. Функция f всюду определена, но не сюръективна, т.е. f есть отображение N в R.

4. f:R₊ ® N. Функция f частично определена и сюръективна, поскольку область значений f (х) = 2 ⁿ при заданном типе функции f представляет множество натуральных чисел, т.е. пр₂ f = N - значит не для всех х Î R ₊ функция f определена, т.е. пр₁ f ¹ R₊. Следовательно, f:R₊ ® N не является отображением.

5. f: R ® R. Функция f всюду определена, но не сюръективна (f не имеет отрицательных значений). Следовательно, f - отображение R в R.

6. f: R ® R ₊. Функция всюду определена и сюръективна, т.е. является отображением R на R₊. Кроме названных свойств во всех случаях f есть функциональное соответствие, а для случаев 2 и 6 - взаимно однозначное.

Пример 4

Чему равна композиция функций f (х) = 2 х и g (x) = l + x?

Ø Пусть функции f (х) = 2 х и g(x) = 1 + х имеют тип R ® R. Тогда их композиции возможны в произвольном порядке. Композиция функций f ◦ g = h ₁представляет собой подстановку f в g, т.е.