Передаточная функция амплитудно-импульсного модулятора

Передаточные функции импульсных систем

Решетчатые функции, их разности и суммы

Лекция 11. Дискретные системы автоматического управления

Среди класса дискретных систем рассмотрим импульсные системы, которые относятся к линейным системам, если непрерывная часть системы линейна.

При математическом описании импульсных систем используют разностные уравнения, получаемые с использованием решетчатых функций. Решетчатая функция существует только в дискретные равноотстоящие друг от друга значениях независимой переменной. Она может быть получена из любой непрерывной функции, если рассматривать только ее дискретные значения. Одной и той же дискретной функции может соответствовать множество непрерывных функций.

Дискретные функции обозначаются x[nT] или x[n] для нормированных функций. Здесь Т – период квантования.

Для определения значений функции внутри интервала квантования используют смещенные решетчатые функции, обозначаемые как x[nT, eT] или x[n, e] соответственно.

Точность передачи информации при преобразовании непрерывного сигнала в импульсный зависит от частоты квантования. С увеличением частоты квантования погрешность, вызванная преобразованием сигнала, уменьшается.

Частоту квантования можно выбрать исходя из теоремы Котельникова – Шеннона, согласно которой непрерывный сигналь со спектром, ограниченным максимальной частотой f_max точно восстанавливается по последовательности его дискретных значений, если частота квантования f_k ³ 2f_max.

Аналогами производных в непрерывных системах в импульсных системах являются конечные разности 1 – го, 2 – го, …n –го порядков. Различают прямые и обратные разности.

Прямая разность первого порядка есть Dx[n] = x[n + 1] - x[n]. Соответственно прямая разность k – го порядка есть D^kx[n] = D^k-1 x[n + 1] - D^{k- 1}x[n].

Обратная разность первого порядка есть Ñx[n] = x[n] - x[n -1]. Соответственно обратная разность k – го порядка есть Ñ^kx[n] = D^k-1 x[n ] - D^{k- 1}x[n - 1].

Прямые и обратные разности можно выразить через решетчатые функции.

Аналогом интеграла в импульсных системах являются неполная сумма s[n] = сумма от m = 0 до m = n -1 решетчатой функции x[n] и полная сумма s_о[n] = сумма от m = 0 до m = n решетчатой функции x[n].

Амплитудно-импульсный модулятор (АИМ) можно рассматривать как элемент, состоящий из двух частей: идеального импульсного элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность идеальных импульсов типа d - функций и формирователя (экстраполятора), преобразующего идеальные импульсы в импульсы заданной конкретной формы. АИМ формирует последовательность импульсов постоянной частоты, амплитуда которых зависит от величины непрерывного входного сигнала.

Если на вход формирователя действует дельта – функция d(t), а U(t) – импульс на выходе, то его передаточная функция определяется выражением:

.

Если на выходе формирователя формируется прямоугольный импульс высотой «К» и длительности t₁, то U(t) = K [ 1(t) – 1(t – t₁)] и .

Таким образом, формирователь амплитудно-импульсного модулятора можно отнести к непрерывной части системы. Если t₁ = T, то формирователь называют формирователем (экстраполятором) нулевого порядка.

Если АИМ формирует импульсы малой длительности, т.е. gТ << T, то передаточная функция его W_ф(р)» gТ. Здесь g = t₁/T - относительная длительность прямоугольного импульса АИМ.

В дальнейшем будем рассматривать системы регулирования, состоящие из одного идеального импульсного элемента и непрерывной линейной части, в которую также включен и формирователь импульсов.