Доказательство окончено

Определим натуральное число n, равное порядковому номеру элемента a _ij в выписанном множестве .

Отметим следующие свойства пересчета элементов:

1) число элементов i -й по порядку диагонали равно i;

2) при движении по диагонали сверху вниз первый индекс элементов возрастает, а второй убывает;

3) сумма индексов элементов i -й диагонали постоянна и равна i + 1.

Воспользуемся данными свойствами. Тогда справедливы следующие выводы:

а) элемент a _ij находится на (i + j -1)– й, начиная от левого верхнего угла диагонали, поэтому число элементов диагоналей, предшествующих диагонали, содержащей a _ij, равно:

1 + 2 +... + i + j - 2 = (i + j - 1) (i + j - 2) / 2;

b) элемент a _ij является j- м по порядку элементом на диагонали с номером i + j - 1.

Поэтому порядковый номер a _ij в выписанном множестве равен: ((i + j - 1) (i + j - 2) / 2) + j.