2015-06-26
424
Счетно-бесконечное объединение 
счетных множеств является счетным множеством.
Доказательство
Проведем доказательство для простейшего случая, когда все множества Ai - счетно-бесконечные и непересекающиеся. Остальные случаи могут быть предложены в качестве упражнения.
Выпишем элементы множества в виде таблицы:
a 1 1 a1 2 a 1 3... a 1 j ...
a 2 1 a 2 2 a 2 3... a 2 j ...
a 3 1 a 3 2 a 3 3... a 3 j ...
......
..........
a i 1 a i 2 a i 3... a i j...
..........
Последовательно пройдем по всем элементам таблицы в порядке, указанном стрелками, выписав все элементы множества . Элементы таблицы последовательно проходят по диагоналям таблицы, начиная с левого верхнего угла, а на диагоналях - в направлении сверху вниз.
Такой пересчет элементов ставит их в однозначное соответствие элементам множества натуральных чисел.
