Уравнение фрактальной эволюции и его дискретная форма

УНИВЕРСАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЖАЕМОСТИ

З.Ж. Жанабаев, С. Н. Ахтанов

Казахский национальный университет им. аль- Фараби, г. Алматы.

Из условия фрактальности меры получено универсальное отображение, описывающее ее перемежаемую эволюцию типа «накопление - выброс». В отличие от всех известных дифференциальных и дискретных моделей динамической системы данное отображение реализует хаотические колебания с характеристиками, соответствующими критериям самоорганизации.

Введение

Перемежаемость – чередование порядка и хаоса является универсальным явлением природы. Этот термин является общепринятым в гидродинамике и означает чередование ламинарного режима движения жидкости с турбулентным. Аналогичные картины наблюдаются во временном ряде астрофизических, сейсмических, нейрофизических, нанотехнологических и других процессов. При этом общей закономерностью является также нерегулярная смена мелкомасштабных флуктуаций с крупномасштабными. В моделях динамических систем перемежаемость тоже наблюдается универсальным образом, как правило, в виде смены процессов удвоения периода (например, через отображение Фейгенбаума) с хаосом.

Вышеперечисленные процессы с перемежаемостью реализуются в нелинейных, неравновесных и незамкнутых (открытых) системах, т.е. при наличии условий для самоорганизации. Процесс самоорганизации имеет самоподобные динамические характеристики, его фазовый портрет может быть странным (фрактальным) аттрактором. Отсюда следует естественный вопрос: можно ли записать в наиболее простом и универсальном виде уравнение (отображение) перемежаемых процессов с всплесками, имеющих фрактальные, синергетические закономерности? Поиск ответа на этот вопрос является целью настоящей работы.

Уравнение фрактальной эволюции и его дискретная форма

Эволюцию некоторой функции x(t), связанной с фрактальной мерой (аддитивной величины, характеризующейся измеримым множеством) по времени t запишем в виде

, (1.1)

где - статистическая характеристика множества значений t, она введена с целью обеспечения условия Лифшица – Гельдера для ограничения производной . Модуль приращения (масштаб измерения величины x(t)) заменим из условия фрактальности меры :

, , , (1.2)

где нефрактальная регулярная мера, - фрактальная размерность множества значений , d- топологическая размерность носителя меры.

Подставив формулу (1.2) в формулу (1.1) перейдем к дискретным разностям. Можно убедиться, что в дискретном случае знаковая функция будет связана с плотностью вероятности , где - номер шага по времени реализации .

Воспользуемся законом сохранения вероятности

. (1.3)

Принимая , имеем

,. (1.4)

Для определения плотности вероятности нужно воспользоваться модулем производной в (1.4), если в формуле (1.4) учесть знак производной, то мы автоматически получим искомую знаковую функцию sign().

С целью описания самоподобных свойств системы мы определяем производную в (1.4) в неподвижной точке :

. (1.5)

Это выражение в дифференциальной форме в теории динамического хаоса называется мультипликатором.

С учетом формул (1.2), (1.4), (1.5) формулу (1.1) для случая запишем в виде

. (1.6)

В формуле (1.6), чтобы можно было выбрать одинаковые моменты времени, исключим величину . Для этой цели выберем зависимость модуля в виде обобщенного броуновского движения [1]