Центральная предельная теорема

При изучении нормального закона распределения отмечают, что непрерывная случайная величина формируется под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов. Причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия - аддитивный (т. е. при воздействии случайного фактора F на величину а получается величина а + D(F), где случайная “добавка” D(F) мала и равновероятна по знаку).

Центральная предельная теорема устанавливает условия образования в пределе нормального закона распределения. Она была открыта Лапласом[8] (опубликована в 1812 г.). Состоит она в следующем.

Рассмотрим сумму S = независимых случайных величин. Предположим, что все эти случайные величины имеют одинаковое распределение и принимают целочисленные значения 0; ±1; ±2;... Распределение = P () каждой из величин можно изобразить следующим образом. Нарисуем на каждом значении m прямоугольник, середина основания которого есть точка m, длина основания равна 1,0, а площадь есть . Получится ряд прямоугольников (с высотами ), сумма площадей которых равна 1 (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Попытаемся изобразить таким же образом вероятности отдельных значений суммы = при довольно большом числе n. При этом обнаружим, что даже если случайные величины , i = 1,..., n принимали всего лишь два значения 0 и 1, то значениями суммы могут быть числа от 0 до n. Следовательно, эти значения при большом числе n просто не поместятся в прежнем масштабе на рис. 5.1. Мы вынуждены будем изменить масштаб, т. е. вместо значений случайной величины

=

будем откладывать значения величины

= ( - ),

где и – некоторые числа, зависящие от n.

Лаплас открыл, что получится нечто замечательное, если положить

= M () = nа, где а = M ();

= = , где = D ().

Случайную величину

мы будем называть нормированной суммой.

Очевидно, что M () = 0, D() = 1 и значениями величины являются числа

= ,

причем для любого целого m

P ( = m) = P ( = ) = P ( = ).

Отложим по оси абсцисс значения и изобразим вероятности

P ( = )

этих значений прямоугольниками, середины оснований которых лежат в точках , длины оснований равны расстоянию

- =

между соседними точками, а площади равны P ( = ). Высоты этих прямоугольников равны

∙ P ( = ).

При этом произойдет следующее: верхние основания этих прямоугольников почти точно лягут на некоторую кривую, задаваемую уравнением

f (x) = ,

которое является плотностью нормального распределения.

При имеем

P ( = ) ® .

В таком случае нам известно, что

P (a b)» F (b) – F (a).

Рассмотрим общую часть центральной предельной теоремы в любой ее форме. Пусть , … – последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M () и дисперсиями D () = , , …. Введем новые случайные величины:

= ,

для которых

M () = ; D () = ; σ () = .

Тогда при определенных условиях справедливо равенство

P (½ ½< z) = = 0,5 + F (),

утверждающее, что закон распределения нормированных отклонений суммы при стремится к стандартному нормальному распределению вне зависимости от типа распределения слагаемых. В таком случае говорят, что подчиняется асимптотически нормальному распределению.

Различные формы центральной предельной теоремы отличаются друг от друга ограничениями, налагаемыми на последовательность , при которых выполняется утверждение теоремы. Так, в теореме Муавра[9]–Лапласа
в качестве рассматриваются частоты при i -том испытании в модели Бернулли. Более общим является условие одинакового распределения всех при существовании конечного математического ожидания M () = a и дисперсии D () = .

А. М. Ляпунов[10], создав специальный метод характеристических функций, используемый в доказательстве различных предельных теорем, показал, что требование одинакового распределения можно заменить условием их равномерной малости (удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых). Это условие Ляпунова математически выражается так:

= 0, где а_i = M ½ – M ()½³.