Простые и сложные проценты

В коммерческих, кредитных и иных финансовых сделках используются процентные вычисления. При заключении кредитного договора стороны предусматривают размер процентной ставки - относительной величины дохода за тот или иной временной период (период начисления): день, месяц, полугодие, год. Ставка дохода измеряется в процентах в виде десятичной или натуральной дроби (в последнем случае фиксируется с точностью до 1/16 или 1/32). Проценты согласно договоренности могут выплачиваться по мере начисления или присоединятся к основной сумме долга, т.е. происходит капитализация процентов, и этот процесс увеличения суммы денег за счет присоединения процентов называют наращением суммы (ее ростом)

В зависимости от условий контрактов проценты могут начисляться на основе постоянной базы или последовательно изменяющейся (проценты начисляются на проценты). При постоянной базе начисляются простые проценты, при изменяющейся – сложные.

Формулы наращения простых процентов:

(1)

где L – проценты за весь срок ссуды,

P – первоначальная сумма долга,

S – наращенная сумма или сумма в конце срока,

i – ставка наращения,

n – срок ссуды.

Пример.

Требуется определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 50 тыс. руб., срок ссуды – 3 года, проценты простые, ставка 22 % годовых.

1. Находим сумму начисленных за весь срок процентов:

L = 50 ∙ 3 ∙ 0,22 = 33 тыс. руб.

2. Определяем сумму накопленного долга:

S = 50 тыс. руб. + 33 тыс. руб. = 83 тыс. руб.

При расчете простых процентов предполагают, что временная база (К) может быть следующей: К = 360 (12 месяцев по 30 дней) или К = 365 (366) дней. Если К = 360 дней, то проценты называют обыкновенными, если К = 365 или 366 дней (фактическая продолжительность года), - точные.

В процессе практической деятельности нередко приходится решать задачу, обратную наращению процентов, а именно, по заданной сумме S, которую требуется возвратить через определенный отрезок времени n, следует определить сумму полученной ссуды. При решении такой задачи считается, что сумма S дисконтируется (учитывается), а сам процесс начисления процентов и их изъятие называют учетом, удержанные проценты – дисконтом. При этом найденная в процессе величина P является современной величиной суммы S.

В зависимости от вида процентной ставки различают два метода дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий учет).

При математическом дисконтировании используется ставка наращения, а при банковском учете – учетная ставка.

Математическое дисконтирование – это формальное решение следующей задачи: какую сумму ссуды требуется выдать, чтобы через определенный срок получить сумму S при начислении процентов по ставке i.

Из уравнения (1) находим величину Р по формуле:

.

Пример.

Через 90 дней согласно договору заемщик должен уплатить 20 тыс. руб. Кредит выдан под 20 % годовых. Определим первоначальную сумму долга (временная база равна 365 дням). По формуле:

находим руб.

При этом S – P является дисконтом с суммы (Д),

т.е. Д = 20000 руб. – 19047,62 руб. = 953,38 руб.

Банковский учет – это учет векселей или иного платежного обязательства, т.е. это приобретение банком или иным финансовым учреждением данных бумаг до наступления срока платежа по цене, которая ниже той суммы, что обозначена в долговом обязательстве (с дисконтом). При наступлении срока платежа банк получает деньги и тем самым реализует дисконт. Дисконтный множитель (размер дисконта) можно определить по формуле:

P = S – Snd = S (1- nd),

т.е. дисконтный множитель равен (1- nd).

Пример.

Вексель выдан на сумму 20 тыс. руб. со сроком уплаты 30.11. Владелец векселя учел его в банке 10.10 по учетной ставке 7 %. Определим величину суммы, выданной владельцу векселя и величину дисконта при К = 360 дней.

руб.

Д = 20000 – 1901 = 199 (руб.)

Сложные проценты. В кредитной практике часто проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга (капитализация процентов). В этом случае применяются сложные проценты, база для начисления которых не остается неизменной (в отличие от простых процентов), а увеличивается по мере начисления процентов.

Для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются один раз в году, применяется следующая формула:

,

где i – ставка наращения по сложным процентам.

Проценты за этот период равны:

.

Пример.

Требуется определить, какой величины достигнет долг, равный 20 тыс. руб., через три года при росте по сложной ставке 10 % годовых?

S = 20000 (1 + 0,10)³ = 26620 руб.

В практике проценты начисляются обычно не один раз в году, а несколько (по полугодиям, поквартально, помесячно).

Предположим, что проценты начисляются m раз в году, а годовая ставка равна f. Ставку f называют номинальной. В 'том случае формула наращения будет следующей:

,

где N – общее количество периодов начисления процентов;

f – номинальная годовая ставка (десятичная дробь).

Пример.

Допустим, что в предыдущем примере проценты начисляются поквартально. В этом случае N = 12 (4 ∙ 3), а наращенная сумма долга составит:

руб.

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.

При начислении процентов на депозиты могут также использоваться сложные ставки процентов. В этих случаях проценты после очередного периода начисления, являющегося частью общего срока хранения депозита, не выплачиваются, а присоединяются к его сумме и, следовательно, на каждом последующем периоде начисления проценты будут начисляться исходя из суммы, равной первоначальной сумме депозита с начисленными за предыдущие периоды процентами.

Если проценты начисляются по сложной годовой ставке один раз в году, их сумма в конце первого года составит:

где Р – первоначальная сумма депозита (n в данном случае принимаем равным 1, т.к. проценты начисляются в течение одного года).

Сумма депозита с процентами в конце первого года будет равна:

Сумма депозита с процентами в конце второго года будет равна:

.

Если срок хранения депозита n лет, его сумма с процентами в конце срока составит:

Сумма начисленных процентов будет равна:

.

При сроке хранения депозита больше года начисление процентов по сложной годовой ставке дает большую сумму процентных денег, чем при их начислении по простой ставке.

Активные операции .

Активные операции – это операции, связанные с размещением средств. К ним относят: кассовые операции, кредитные операции, инвестиции в ценные бумаги, вложения в основные средства и др.

Кассовые операции – это операции, связанные с формированием у банка денежной наличности и обслуживанием хозяйственных органов (выдачей средств на заработную плату, командировочные расходы, на закупку сельскохозяйственных товаров и т.д.). Для формирования данных средств в достаточном количестве у банка имеется оборотная касса. Сумма средств, находящихся в этой кассе, строго лимитирована. Ее величина согласовывается руководством банка с территориальным учреждением ЦБ РФ, в котором имеется корреспондентский счет банка.

Наличными денежными средствами коммерческий банк обеспечивается за счет резервов денежной наличности, находящихся в расчетно-кассовых центрах (РКЦ). Банк получает их в порядке подкрепления своей оборотной кассы в пределах установленного лимита. Всю сверхлимитную наличность банки должны сдавать в РКЦ.

В свою очередь, коммерческие банки следят за соблюдением кассовой дисциплины в обслуживаемых ими организациях и на предприятиях – у клиентов банка. Оборотная касса предприятий также формируется на основе установленных лимитов. Предприятия в заранее установленные сроки представляют в банк расчеты лимита своей кассы, календарь выплат средств на заработную плату и другие цели. Для этого они составляют так называемые прогнозы кассовых оборотов (кассовые планы). С их помощью рассчитывается потребность предприятий в наличных средствах и расходах на социальные выплаты.

Кредитные операции играют основную роль в деятельности банков. Ставка, по которой выдаются кредиты, превышает ставку, по которой принимаются депозиты, на величину процентной маржи, являющейся источником прибыли банка от кредитных операций.

При погашении кредита удобно сразу определять размер возвращаемой (погашаемой) суммы, равной сумме кредита Р с начисленными процентами J, которая при использовании простой ставки процентов будет равна:

,

где S – наращенная сумма платежа по начисленным простым процентам,

Р – сумма первоначального долга,

J – сумма процентов,

i – ставка процентов (в долях единиц),

n - число полных лет.

Пример.

Банк выдал кредит в размере 5 млн. руб. на полгода по простой ставке процентов 120 % годовых. Определим погашаемую сумму и сумму процентов за кредит.

руб.

Сумма процентов, полученная банком за кредит будет равна:

J = 8000000 – 5000000 = 3000000 руб.

При выдаче кредитов на срок больше года проценты могут начисляться по сложной годовой ставке. Погашаемая сумма кредита при этом определяется с использованием формулы:

Кроме того, при начислении процентов за кредит следует учитывать, как уже отмечалось, инфляцию.

Простая ставка процентов, обеспечивающая реальную эффективность кредитной операции i_r при уровне инфляции за срок кредита r, как указывалось выше, будет равна:

.

Пример.

Кредит в 2 млн. руб. выдан на два года. Реальная эффективность операций должна составить 8 % годовых по сложной ставке процентов, расчетный уровень инфляции – 20 % в год.

Определим ставку процентов при выдаче кредита, погашаемую сумму и сумму полученных процентов.

В соответствии с формулой ставка сложных процентов составит:

.

Погашаемая сумма равна:

руб.

Сумма полученных процентов будет равна:

J = 3359232 – 2000000 = 1359232 руб.

Банковские инвестиции. Важным направлением деятельности коммерческого банка являются инвестиции в ценные бумаги. Инвестиционные операции банка предполагают покупку ценных бумаг всех видов (акций, облигаций, сертификатов, векселей) за счет собственных средств банка. Доходы от операций с акциями могут быть получены, с одной стороны, при продаже банком своих акций по цене, большей их номинальной стоимости, а с другой – от инвестирования средств банка в акции других акционерных обществ. Рыночная цена акций определяется спросом на них.

Определение дохода от акций. Доход от вложений в акции определяется размерами дивидендов и разницей между ценой покупки и последующей продажи акций. Рыночная цена акций зависит от спроса на них, который, в свою очередь, определяется действием таких факторов, как размер дивиденда, репутация корпорации (акционерного общества), перспективы развития и т.д.

В практике используется ряд показателей, характеризующих ценность акций:

1. Расчет текущей доходности акции:

,

где Д_х – текущая доходность акции (%);

В – величина выплачиваемых дивидендов;

Ц – цена приобретения акции.

2. Расчет курсовой цены акции (в %):

,

где Н – цена приобретения акции;

Ц_к – курсовая цена акции (%);

Д – доход по акции (%);

i – процент банка по депозитам.

Примеры.

1. Инвестор, вложивший деньги в акции на длительный срок с целью получения дохода в виде дивидендов, фактически получил дивиденды в размере
4 ден. ед. на акцию. Цена, по которой инвестор приобрел акции – 36 ден. ед. Определим текущую доходность акции.

ден. ед.

2. Акция приобретена по цене 20 руб. Дивиденд по акции – 5%, процент банка по вкладу – 8 %. Определим курс акции.

(руб.)

Определение дохода от облигаций. Доходность облигаций можно охарактеризовать с помощью нескольких показателей. Существует купонная, текущая и полная доходность.

Купонная доходность определяется на стадии выпуска облигаций. Текущая доходность представляет собой отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Однако она не включает величину номинала или выкупную цену в конце срока обращения данной ценной бумаги. В связи с этим целесообразно определять показатель полной доходности, который дает возможность измерить реальную величину эффективности вложений средств инвестора в облигации в виде годовой ставки сложных процентов.

Облигации без выплаты процента. Доход в этом случае образуется как разность между номиналом и ценой приобретения.

Ставка доходности в этом случае определяется по формуле:

,

где К – курс облигации;

n – срок до выкупа облигации.

Пример.

Корпорация выкупила облигации с нулевым купоном. Срок погашения – три года, курс реализации – 60. Определим доходность облигации на дату погашения.

= 0,459 или 45,9 %.

Облигации с выплатой процентов и номинала. В этом случае купонного дохода нет, а начисляются проценты за весь срок и выплачиваются вместе с номиналом. Полная доходность определяется по формуле:

,

где d – объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента).

Пример.

Облигация со сроком обращения два года и с 20 % годовых относительно номинала куплена по курсу 70. Проценты и номинал выплачиваются в конце срока. Определим полную доходность облигации:

42,85 %.

Расчет цены реализации облигации осуществляется по формуле:

,

где Н – номинальная стоимость облигации;

С – процентная ставка по облигации;

Д – количество дней, прошедших с даты начала распространения до даты заключения договора купли-продажи включительно;

Д_п – длительность расчетного периода в днях;

К_п – количество расчетных периодов в году.

Пример.

Клиент приобрел облигацию банка 01.07.97 г. номиналом 50000 руб. сроком обращения 1 год. Процентный доход по облигации составил 20 % годовых. Банк установил 4 расчетных периода выплаты процентов с интервалом в 90 дней. Определим цену реализации облигации 31.12.97 г.

(руб.).

Гарантийные операции или поручительство. Банки проявляют интерес к этим операциям, поскольку они не учитываются на балансе банка, и не оказывают влияния на риск в активе баланса. В то же время приносят банку доход.

Активно-пассивные операции банков – это комиссионные, посреднические операции, выполняемые банками по поручению клиентов за определенную плату. Эта группа операций называется банковскими услугами. Основными финансовыми услугами коммерческих банков являются: лизинг, факторинг, форфейтинг и траст.

Лизинг – это специфическая форма финансирования вложений в основные фонды при посредничестве банка (лизинговой компании), который приобретает для третьего лица имущество и отдает ему это имущество в аренду на долгосрочный период.

Лизинг может быть двух видов: оперативный и финансовый.

При оперативном лизинге контракты заключаются на короткий и средний срок (как правило, короче амортизационного периода). В этом случае арендодатель для обеспечения хорошего состояния предмета лизинга нередко берет на себя его техническое обслуживание. В связи с этим данный вид лизинга называют еще сервисным. По окончании срока действия договора лизинга его предмет возвращается владельцу.

Финансовый лизинг характеризуется длительным сроком арендных отношений и является, как правило, полностью амортизационным. Он не предусматривает обслуживания имущества арендодателем. Такой лизинг позволяет владельцу имущества полностью возмещать все расходы по приобретению оборудования и других средств.

При финансовом лизинге арендатор становится владельцем взятого в аренду имущества только по истечении срока договора и выплаты им полной стоимости арендованного имущества. В связи с этим финансовый лизинг считают формой долгосрочного кредитования.

Общая сумма лизинговых платежей (Л_п) равна:

Л_п = А + П_к + П_ком + П_у,

где А - сумма начислений амортизации;

П_к – плата за привлеченные кредитные ресурсы;

П_ком – размер комиссионных выплат;

П_у – плата за дополнительные услуги.

Операция факторинга заключается в том, что факторинговый отдел банка покупает долговые требования (счета фактуры) клиента на условиях немедленной оплаты до 80 % стоимости отфактурованных поставок и уплаты остальной части, за вычетом процента за кредит и комиссионных платежей, в строго обусловленные сроки независимо от поступления выручки от дебиторов. Резервные 10-20 % стоимости отгрузки клиенту не выплачиваются, а бронируются на отдельном счете на случай претензий в его адрес от покупателя по качеству продукции, ее цене и др. Если должник не оплачивает в срок счета факторинга, то выплаты вместо него осуществляет факторинговый отдел банка.

При успешном окончании факторингового договора после оплаты долга покупателем банк ликвидирует блокированный счет, а сумма возмещается поставщику. Срок возвращения кредита – 90-120 дней.

Процент по факторинговому кредиту обычно на 2-4 % выше официальной учебной ставки, используемой при краткосрочном кредитовании клиентов с аналогичным оборотом и кредитоспособностью, что обусловлено необходимостью компенсации дополнительных затрат и риска, принятого на себя банком.

Сегодня факторинг представляет собой универсальную систему обслуживания поставщика, включающую услуги бухгалтерского, информационного, сбытового, страхового, кредитного и юридического характера. Благодаря факторингу поставщику создаются оптимальные условия для концентрации усилий на основной, производственной деятельности, ускорения оборота капитала и соответственно увеличения прибыли.

Форфейтинг – кредитование экспортера путем покупки векселей или других долговых требований. Это, как и факторинг, форма трансформации коммерческого кредита в банковский.

Форфейтер не имеет права предъявлять какие-либо претензии к экспортеру в случае неплатежа импортера. Форфетирование применяется:

– при поставках оборудования на крупные суммы;

– с длительной рассрочкой платежа от 6 месяцев до 5-7 лет;

– содержит гарантию первоклассного банка, необходимые для переучета векселей.

Форфейтер приобретает долговые требования за вычетом процентов за весь срок. Ставка процента складывается на основе рыночного спроса и предложения и существенно превышает обычные ставки по кредитам, т.к. форфейтер берет на себя практически все риски.

Траст (доверие, доверительное управление) – это операции по управлению средствами (имуществом, деньгами, ценными бумагами и т.п.) клиента, осуществляемые от своего имени и по поручению клиента на основании договора с ним.

Объектами доверительного управления для кредитной организации, выступающей в качестве доверительного управляющего, могут быть: денежные средства (в валюте РФ и в иностранной валюте), ценные бумаги, природные драгоценные камни и драгоценные металлы, производные финансовые инструменты, принадлежащие резидентам РФ только на правах собственности. Имущество, находящееся в хозяйственном ведении или в оперативном управлении, не может быть передано в доверительное управление.

Доверительный собственник (банк) сопоставляет доходность от депозитных операций с доходностью траста, а также анализируют возможность снижения обязательных платежей. В связи с этим, доходность по трасту определяется по формуле:

Доходность траста = .

Если в траст вкладывать ценные бумаги, то формулу можно выразить следующим образом:

Доходность траста = .

Как уже отмечалось, крупные банки в настоящее время выполняют до 300 операций, в числе которых значительное место занимают активно-пассивные операции.