Стандартные распределения дискретных случайных величин

Три основных распределения:

· Биномиальное

· Распределение Пуассона

· Равномерное

· Это распределение дискретных случайных величин, где вероятность того, что случайная величина х примет значение равное некоторому значению n, определяется по формуле P(x=m)=P_n(m)=C_n^m∙p^m∙qⁿ^-^m – это операция комбинаторики, то есть число комбинаций из n объектов по m, отличающихся только составом, определяется по формуле:

р – вероятность появления события в единичном испытании, q – вероятность непоявления события. Проведено n опытов. m меняется от 0 до значения …. Закон распределения имеет вид:

x=m			…	m	…	n
P_n(m)	qⁿ	npq^n-1	…	C_n^m∙p^m∙qⁿ^-^m	…	pⁿ

· x=m=0

· x=m=1

Чтобы убедиться в том, что формула Бернулли справедлива для биномиального распределения, нужно найти сумму вероятностей всех событий, указанных в таблице:

- бином Ньютона

Функция распределения:

Нужно продифференцировать бином Ньютона по параметру p:

Нужно умножить обе части данного уравнения на p:

Mx=np

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии:

Эксцесс:

При p=q=0,5 распределение симметрично. Когда p<0,5 – асимметрия положительна, p>0,5 – отрицательная.

Форма распределения зависит не только от p, но и от n, если (n+1)p<1, то вероятность монотонно убывает с возрастанием m.

Если (n+1)p>1, то pmn имеет max при m=np

Для того чтобы убедиться в правильности формулы соответствующей биному Ньютона можно рассмотреть группу событий, возникающих при контроле двух деталей.

A – событие при m=0

B₁ – при m=1

B₂ – при m=2

A=B₁∙B₂

p(A)=p(B₁)∙p(B₂)=qq=q²

p₂(0)=q²

A₁=B₁∙B₂+B₁∙B₂

p(A₁)=p(B₁∙B₂)+p(B₁∙B₂)=p(B₁)∙p(B₂)+p(B₁)∙p(B₂)

pq+qp=2pq

p₂(1)=2pq

A₂=B₁∙B₂

p(A₂)=p(B₁)∙p(B₂)=pp=p²

p₂(2)=p²

C=A₁+ A₂+ A₃

p(C)=p(A)+p(A₁)+p(A₂)=q²+2pq+p²=(q+p)²=1

При больших значениях m и n сложно находить факториалы. Поэтому нужно использовать рекуррентную формулу: y_i₊₁=φ(y_i)

Для ряда вероятностей рекуррентная формула имеет вид:

При выборе рекуррентной формулы следует учитывать начальное значение k:

k=0

Формула справедлива при k=0. Конечное значение будет равно n-1.

Таким образом, биномиальное распределение реализует схему Бернулли, которая заключается в анализе условий повторной выборки, при которых элемент генеральной совокупности может обладать или не обладать каким-либо признаком. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие наступит ровно m раз и не наступит n-m раз, по теореме умножения вероятностей p^mqⁿ^-^m, а всего таких событий, отличающихся только составом, С_n^m.

Частным случаем является формула нахождения вероятности появления хотя бы одного из событий: A₁, A₂, …, A_n, независимых друг от друга. Она равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: A₁, A₂, …, A_n.

p(A)=1-q₁ q₂ … q_n

Если A_i – равновероятное, то p(A)=1-qⁿ.

В данном случае реализуется условие повторной выборки, так как формулы для бесповторных выборок гораздо сложнее. При большом числе опытов условия повторной выборки и бесповторной практически не отличаются.

· Является предельным для биномиального распределения, если одновременно выполняются два условия:

- Число опытов бесконечно велико: n→∞, p→0.

- Вероятность события мала. Поэтому распределение Пуассона называется законом редких явлений, которые определяются как маловероятные события при значительном числе испытаний. В распределении Пуассона np=const=Q