Свойства дисперсии

· D=const=0

· D(cx)=c²Dx.

· D(x+y)=Dx+Dy.

· D(x+c)=D(x)

Дисперсия числа появления события в n независимых испытаниях, где вероятность появления события постоянна и равна p. Это произведение числа испытаний на вероятность появления и не появления события: M(x²)-M²x=p-p²=p(1-p)=pq, Dx=np, Dx=Dx₁+ Dx₂+… Dx_n=qpn.

Механическая интерпретация дисперсии – это сумма произведений элементов массы веса на квадрат их расстояний от центра тяжести или центральный момент инерции. Понятие о моментах: существуют начальные, центральные и основные моменты для одномерной величины и основные моменты для системы двух величин. Начальным моментом любой случайной величины называется математическое ожидание этой случайной величины, возведенной в k ^ую степень. Тогда говорят о начальном моменте k ^ого порядка.

ν_k=Mx^k. Из этого определения следует, что математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Центральным моментом k ^ого порядка называется математическое ожидание μ_k=M(x-Mx)^k разности между значениями x и их математическими ожиданиями, возведенной в k ^ую степень. Из формулы видно, что центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Для анализа симметричности распределения вводится параметр, называемый коэффициентом асимметрии (А).

Если А≈0 – распределение симметричное, А<0 – левосторонняя асимметрия, то есть кривая распределения полога слева, А>0 – правосторонняя асимметрия, то есть кривая распределения полога справа. Для характеристики формы кривой рассчитывается новый параметр, называемый эксцессом:

Стандартной кривой является та, при которой E=3. Поэтому во многих случаях приводится формула:

Тогда эксцесс анализируется так: если E=0, то вершина примерно стандартна, E>0 – островершинное распределение, E<0 – плосковершинное распределение. Задача: случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей: