2015-07-04
2636
Двухфакторный дисперсионный анализ исследует влияние на результативный признак двух факторов как порознь, так и совместно. Учет эффекта влияния каждого фактора по отдельности теоретически ничем не отличается от описанных выше схем. И там и тут оценивается изменчивость средних по градациям на фоне случайной изменчивости вариант внутри градаций, с помощью критерия Фишера устанавливается достоверность отличий межгрупповых дисперсий от внутригрупповых.
Двухфакторный дисперсионный анализ, естественно, требует более сложных вычислительных операций, чем однофакторный, но в принципе ничем не отличается от описанных выше схем. Однако это относится лишь к ортогональным (равномерным, или пропорциональным) комплексам, характеризующимся равной или по крайней мере пропорциональной численностью групп (в градациях содержатся одинаковые или пропорциональные числа вариант). Что же касается неортогональных многофакторных комплексов, то их анализ принципиально возможен, но имеет свои особенности, существенно усложняющие технику вычислений, и в настоящем пособии не рассматривается.
На практике вполне допустим и такой способ избегнуть сложностей обработки неравномерных комплексов, как искусственное превращение их в равномерные. Для этого нужно составить выборки одинаковой или пропорциональной численности, используя только часть имеющихся данных. Следует, однако, помнить, что такой отбор не должен быть субъективным. Чтобы не допустить возможной тенденциозности, лучше всего прибегнуть к жеребьевке.
Важным преимуществом двухфакторного дисперсионного анализа перед однофакторным служит то, что с его помощью удается определить варьирование по сочетанию градаций Ссочет . = СAB, позволяющее получить новый и весьма ценный в биологическом отношении показатель – оценку влияния сочетанного действия (взаимодействия) факторов.
Общая вариация (сумма квадратов) признака теперь состоит из четырех компонентов за счет более детального разложения факториальной дисперсии.
Правило разложения вариаций предстает как:
Собщ . = СA + СB + СAB + Сслуч .,
Сфакт. = Собщ. − Сслуч . = СA + СB + СAB.
Для расчетов используются следующие смысловые формулы:
Собщ. = Σ (xi − M) ²,
СA. = Σ (MAj − M) ², j – число градаций фактора А, MAj – групповые средние по градациям фактора А,
СB = Σ (MBk − M) ², k – число градаций фактора В, MBk – групповые средние по градациям фактора В,
Сслуч. = Σ (xi − Mxi) ²,
СAB = Собщ. −(СA + СB + Сслуч .).
Сочетанное действие (взаимодействие) каждого из двух факторов проявляется в усилении или ослаблении непосредственного действия другого фактора на объект исследования. К примеру, неурожай кормов усугубляет негативное действие зимнего холода на численность популяций мелких млекопитающих.
Рассмотрим числовой пример – испытания стимулятора многоплодия при разной полноценности рационов. Полноценность рациона (первый фактор) представлена двумя градациями: A 1 – рацион с недостатком минеральных веществ, А 2 – рацион, полностью сбалансированный по всем питательным веществам, включая и минеральные. Стимулятор (второй фактор) был испытан в трех дозах: В 1 – одинарная, В 2 – двойная, В 3 – тройная. Результативный признак – плодовитость самок, измерявшаяся числом детенышей в помете. Для каждого сочетания градаций рациона и стимулятора были подобраны три одновозрастные самки.
Комбинативная таблица двухфакторного равномерного дисперсионного комплекса с трехкратной повторностью (ni = 3) включает две градации по фактору А и три градации по фактору В (табл. 11). Варианты размещаются по градациям, определяется объем градации, вычисляются суммы вариант, частные средние, затем вспомогательные величины (Н 1, Н 2, Н 3, НА, НВ) и суммы квадратов отклонений (дисперсий) по рабочим формулам. В завершение всего заполняют таблицу дисперсионного анализа (табл. 12), находят показатель достоверности влияния Фишера и, сопоставляя его с табличным для соответствующих степеней свободы и принятого уровня значимости, делают статистический вывод.
Таблица 11
| Градации факторов | A 1 | А 2 | Для | B | |||||
| x | x 2 | x | x 2 | Σ | MB | ΣΣ x ² /n | Σ(Σ x ² /n) | ||
| В 1 | |||||||||
| Σ x ² | ΣΣ x ² = 128 | ||||||||
| Σ x | ΣΣ x = 24 | ||||||||
| n | nB1 = 6 | ||||||||
| Σ x ² /n | Σ(Σ x ² /n) = 120 | ||||||||
| В 2 | |||||||||
| HB = | |||||||||
| Σ x ² | ΣΣ x ² = 352 | Σ(Σ x ² /n) | |||||||
| Σ x | ΣΣ x = 42 | = 486 | |||||||
| n | nB2 = 6 | ||||||||
| Σ x ² /n | Σ(Σ x ² /n) = 348 | ||||||||
| В 3 | |||||||||
| Σ x ² | ΣΣ x ² = 128 | ||||||||
| Σ x | ΣΣ x = 24 | ||||||||
| n | nB3 = 6 | ||||||||
| Σ x ² /n | Σ(Σ x ² /n) =120 | ||||||||
| ΣΣ x ² | H 1= ΣΣΣ x ² = 608 | ||||||||
| ΣΣ | ΣΣ x | ΣΣΣ x = 90 | H 2= | (ΣΣΣ x)²/N = 450 | |||||
| nA = Σn | N = ΣΣ n = 18 | ||||||||
| Σ x ² /n | H 3= ΣΣ(Σ x ² /n) = 588 | ||||||||
| MA = ΣΣ x/n | j = 2 – число градаций фактора А | ||||||||
| Для | Σ x ² /n | k = 3– число градаций фактора В | |||||||
| A | HA = Σ(Σ x ² /n) = 468 |
| Собщ. = H 1 − H 2 = 608 − 450 = 158 |
| Сслуч. = H 1 − H 3 = 608 − 588 = 20 |
| Cфакт. = СA + B+AB = H 3 − H 2 = 588 − 450 = 138 |
| СA = H A − H 2 = 468 − 450 = 18 |
| СB = HB − H 2 = 486 − 450 = 36 |
| СAB = Cфакт . − СA − СB = 138 − 18 − 36 = 84 |
В нашем примере все факториальные влияния оказались достоверными с доверительной вероятностью Р > 0.95 (табл. 12). Это позволяет сделать определенные выводы относительно действия стимулятора на плодовитость самок. Влияние каждого фактора в отдельности (качества рациона и дозы стимулятора) и их суммарного эффекта достаточно существенно, но особенно результативно действие стимулятора в сочетании с полноценным рационом (величина η ² АВ выше, чем η ² А и η ² В). Более того, при недостатке в корме минеральных веществ двукратные и трехкратные дозы стимулятора могут даже снизить плодовитость животных.
Таблица 12
| Составляющие дисперсии | Суммы квадратов, С | Сила влияния, η ²(%) | Степени свободы, df | Дис-персии, S | Критерий, F (F ( α , dfi , dfсл. )) |
| Фактор А | j − 1 = 1 | 10.8 (4.7) | |||
| Фактор В | k − 1 = 2 | 10.8 (3.9) | |||
| Взаимодействие АВ | dfA ∙ dfB =2 | 25.2 (3.9) | |||
| Факториальная (всего) | j ∙ k − 1 = 5 | 27.6 | 16.5 (3.1) | ||
| Случайная | N − j ∙ k = 12 | 1.67 | |||
| Общая | N − 1 = 17 |
Таблица двухфакторного дисперсионного анализа имеет ту же структуру, что и таблица для однофакторного анализа, только факториальная дисперсия разложена на три компоненты (для факторов А, В и их взаимодействия). Для каждой из них требуется вычислить число степеней свободы с учетом числа градаций фактора А (j, количество столбцов) и числа градаций фактора В (k, количество рядов), значения дисперсий, а также критерий Фишера. Поскольку каждому из расчетных значений критерия соответствует свое число степеней свободы, табличные значения окажутся разными.
