Однофакторный дисперсионный анализ количественных признаков

Дисперсионный анализ позволяет оценить степень и достоверность отличия нескольких выборочных средних одновременно, т. е. изучить влияние одного контролируемого фактора на ре­зультативный признак путем оценки его относительной роли в общей изменчивости этого признака, вызван­ной влиянием всех факторов. Сущность дисперсионного анализа заключается в расчлене­нии общей вариации (дисперсии) изучаемого признака, вычисляемой по сумме квадратов отклонений отдельных вариант (x) от средней ариф­метической всего комплекса наблюдений (М), на его состав­ные части –дисперсию, вызванную организованными, учиты­ваемыми в исследовании факторами (факториальную дисперсию), оценивающую межгрупповую изменчивость, и дисперсию, обусловленную остальными, неорганизованными в данном исследовании факторами (внутригрупповую, или случайную, дисперсию) отклонения отдельных значений от средней в группе.

Общая вариация (сумма квадратов) признака рассчитывается как сумма квадратов отклонений всех вариант (x_i) от общей средней (M):

С_общ. = Σ (x_i − M) ².

Факториальная (межгрупповая, межвыборочная) сумма квадратов рассчитывается как сумма квадратов отклонений частных средних (M_i) для каждой выборки (всего k выборок) от общей средней:

С_факт. = Σ (M_j − M) ².

Остаточная (случайная, внутригрупповая) сумма квадратов есть сумма квадратов отклонений вариант каждой выборки (x_i) от своей средней (M_j):

С_случ. = Σ (x_i − M_j) ².

Очевид­но, что в общем комплексе наблюдений должно выполняться равенство С_{общ .} = С_{факт .} + С_{случ .}

Отношение сумм квадратов к соответствующему числу степеней свободы дает оценку величины дисперсии, или средний квадрат, иногда ее именуют варианса. Влияние изучаемого фактора отражает факториальная, или межгрупповая, дисперсия S ² _{факт .}, а влияние случайных неорганизованных в данном исследовании причин – случайная S ² _случ., или внутригрупповая, остаточная дисперсия S ² _{остат .}:

,

где df_факт. = k − 1, j = 1, 2, …, k, k – число сравниваемых средних.

,

где df _случ. = n − 1, i = 1, 2, …, n, n – число вариант всех выборок.

Сила влияния фактора определяется как доля частной суммы квадратов в общем варьировании признака. Показатель силы влияния изучаемого фактора составляет: η ² _факт. = С_{факт .} / С_{общ .,} неорганизованных (случайных): η ² _{случ .} = С_{случ .} / С_{общ .}; сумма этих показателей, естественно, равна единице: η ² _{факт .} + η ² _{случ .} = 1. Заметим, что показатель силы влияния диспер­сионного комплекса есть не что иное, как квадрат пирсоновского корреляционного отношения, которым и оценивается отно­сительная доля влияния организованного (изучаемого) фактора в общем суммарном статистическом влиянии всех факторов, оп­ределяющих развитие данного результативного признака.

О достоверности оценок влияния факторов судят по уже знакомому нам критерию Фишера: ~ F _{( α , df 1, df 2)},

где df ₁ = k − 1, df ₂ = n − k, k – число градаций,

n – общий объем всех выборок.

Проверяется нулевая гипотеза: «влияние фактора на признак отсутствует». Влияние считается доказанным, если величина расчетного критерия равна или превышает свое табличное значение с принятым уровнем значимости (обычно α = 0.05) (F определяется по табл. 7 П). Все параметры однофакторного дисперсионного анализа и порядок их вычислений представлены в таблице 8.

Таблица 8

Составляющие дисперсии	Суммы квадратов (SS), С	Сила влияния, η ²	Степени свободы, df	Дисперсии (средний квадрат, MS), S ²	Критерий влияния, F
Факториальная	Сфакт . = Σ (Mj − M) ²		k − 1	S ² факт . = =	F =
Случайная	Сслуч . = Σ (xi − Mj) ²		n − k	S ² случ . = =
Общая	Собщ . = Σ (xi − M) ²

Однофакторным называется анализ, изучающий действие на результативный признак только одного организованного фактора А. Для примера оценим влияние растворенного в воде ве­щества на плодовитость дафний, используемых в качестве тест-объектов в водно-токсикологических экспериментах. В ходе предварительного исследования были получены четыре выборки, четыре группы значений плодовитости животных, выращенных в средах с разным содержанием химической добавки.

Сначала необходимо сгруп­пировать выборочный материал в комбинативную таблицу (ор­ганизовать дисперсионный комплекс). Для этого варианты каждой выборки записываются в отдельные графы, именуемые градациями (табл. 9). Результативным признаком служит средняя плодовитость дафний за неделю (для иллюстративности расчетов она да­на в целых числах). В нашем примере организованы 4 градации – чистая вода (контроль, градация А 1; значения плодовитости 6, 5, 5, 7), слабая концентрация вещества (5 мг/л, А 2; 8, 7, 6, 6), сред­няя (15 мг/л, А 3; 8, 8, 7) и сильная (30 мг/л, А 4; 8, 7, 9). Предлагаемый ниже алгоритм расчетов позволяет использовать неравное число вариант в градациях. Расчеты показаны в таблице 9.

Таблица 9

Полученные значения позволяют вычислить диспер­сии, определить силу влияния фактора и критерий достоверности Фишера.

Поскольку полученное значение критерия (F = 4.39) больше табличного (F _(0.05,3,10) = 3.7) (табл. 7 П), отличие факториальной и случайной дисперсий достоверно, влияние фактора значимо.

Отсюда следует биологический вывод: стимулирующее влияние изучаемого фактора (вещества) на плодовитость дафний от­носительно велико (57%) и достоверно (с вероятностью Р > 0.95).