Взаимная связь (взаимная зависимость) двух признаков при их изменчивости, т. е. сопряженность их вариации, называется корреляцией. Корреляция имеет место в тех случаях, когда признаки изменяются не автономно, а согласованно. Если с увеличением одного признака происходит соответствующее увеличение другого, говорят о положительной корреляции, и коэффициент корреляции имеет в этом случае положительный знак (+). Если же по мере увеличения первого признака второй уменьшается, то это отрицательная корреляция, коэффициент корреляции пишется со знаком минус (−). Полная положительная корреляция выражается единицей r = 1, полная отрицательная r = −1. В природе такая ситуация встречается редко, и степень связи выражается той или иной долей единицы. При этом о тесной (сильной) корреляции обычно говорят в тех случаях, когда коэффициент корреляции не ниже ±0.6; значения ниже ±0.6 указывают на среднюю связь, а ниже ±0.3 – на слабую.
Коэффициент корреляции призван численно выражать долю сопряженной вариации двух признаков в общей их вариации:
|
|
,
где Cxy – характеристика сопряженной изменчивости признаков,
Cx, Cy – характеристика общей изменчивости признаков.
При большом количестве данных коэффициент корреляции имеет смысл вычислять на компьютере (например, с помощью функции КОРРЕЛ в среде программы Excel), но для небольших выборок его можно быстро найти и при ручном счете. Рабочая формула для расчетов имеет вид:
.
Способ вычисления коэффициента корреляции показан в таблице 13 на примере зависимости между живым весом коров (х) и их приплода (у, кг). По таблице рассчитываются квадраты вариант и их произведения, а также суммы вариант, квадратов и произведений. Вычисления ведутся по точным рабочим формулам.
Таблица 13
i | у | х | у ² | х ² | х∙у |
Σ |
Проведем последовательные расчеты. Сначала определим вспомогательные величины:
Cxy = Σ(x ∙ y)−(Σ x)∙(Σ y) / n = 103144 − 3150 ∙ 224 / 7 = 2344,
Cy = Σ y ² − (Σ y)² / n = 7330 − 224² / 7 = 162,
Cx = Σ x ² − (Σ x)² / n = 1453158 − 3150² / 7 = 35658;
затем – коэффициент корреляции:
= 0.975.
Далее найдем его ошибку:
,
и, наконец, критерий t Стьюдента для проверки значимости коэффициентов:
tr = r / mr = 0.975 / 0.099 = 9.84.
Нулевая гипотеза предполагает отсутствие связи: «коэффициент корреляции значимо от нуля не отличается», r = 0. В нашем примере для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = n − 2 = 5 находим табличное значение критерия Стьюдента t (0.05, 5) = 2.57. Полученная величина (9.84) значительно превышает табличную (2.57), что говорит о высокой статистической значимости коэффициента корреляции, о достоверности его отличия от нуля. Признаки положительно коррелируют, масса тела теленка действительно возрастает вслед за ростом массы тела коровы.
|
|
Выборный коэффициент корреляции в той или иной степени соответствует генеральному параметру. Определить диапазон, где лежит генеральное значение, можно с помощью доверительного интервала, хотя его нельзя построить непосредственно по формуле r ± t ( α , df ) ∙ mr. Дело в том, что область изменений коэффициента ограничена рамками ±1, поэтому распределение выборочных коэффициентов корреляции в общем не соответствует нормальному (с диапазоном изменчивости ±∞). Поэтому перед расчетом коэффициент корреляции преобразуют в величину z, имеющую нормальное распределение, и уже для нее отыскивают границы доверительного интервала, после чего выполняют обратное преобразование.
Доверительный интервал для нашего случая (r = 0.975, α = 0.05, п = 7, df = п − 2 = 5, t (0.05,5) = 2.57) рассчитывается так. Преобразуем r:
= 2.184
или берем его более точное значение из таблицы 13 П, тогда z = 2.0923.
Определяем ошибку = 0.5.
Находим верхнюю границу: max z = z + t ( α , df ) ∙ mz = 2.09+2.57∙0.5 = 3.375 и нижнюю границу: min z = z − t ( α , df ) ∙ mz = 2.09−2.57∙0.5 = 0.805.
Обратное преобразование (по табл. 14 П) дает: max r ≈ 1.00, min r ≈ 0.67. Истинное значение коэффициента корреляции находится в диапазоне от 0.67 до 1.00.