Учебно-методическое обеспечение

Связь теории вероятностей с предшествующими дисциплинами

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» опирается на материал, излагаемый в курсах «Алгебра и геометрия», «Основы дискретной математики», «Математический анализ I и II» и «Кратные интегралы и ряды» и поэтому предполагается, что по этим курсам студенты имеют достаточно хороший уровень подготовки.

Связь с последующими дисциплинами

Знания и навыки, полученные студентами при изучении курса «Теория вероятностей и математическая статистика», далее используются при изучении дисциплин: «Прикладные задачи теории вероятностей», «Моделирование информационных процессов», «Вычислительная математика», а также при выполнении выпускных квалификационных работ бакалавра и магистра.

Учебно-методическое обеспечение

Основная литература.

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2002 г. и стереотипные издания 1991, 1985 г.г. (гриф Минобразования России).

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматлит, 2006 г. (гриф Минобразования России).

3. Теория вероятностей. Под ред. Зарубина В.С., Крищенко А.П. Учебник для втузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001 г. (гриф Минобразования России).

4. Коломиец Э.И., Дегтярев А.А. Сборник задач по теории вероятностей. Учебное пособие. Изд-во СГАУ, 2006 (гриф УМС по прикладной математике и информатике и информационным технологиям).

Дополнительная литература

1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987 г. (и др. издания).

2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986 г. (и др. издания).

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для втузов. М.: Высшая школа, 2002 г. (и др. издания).

4. Мынбаева Г.У., Дмитриев И.Г., Борисов В.З., Савин А.С. Теория вероятностей в примерах и задачах. М.: Вузовская книга, 2005 (гриф НМС по математике и механике).

5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. М.: Высшее образование, 2005 (МАИ).

6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. Свешникова А.А. М.: Наука, 1970 г. (и др. издания).

Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.

До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были, так называемые, детерминированные эксперименты, в которых условия проведения эксперимента однозначно определяют его исход. Однако для широкого круга явлений, наблюдается неоднозначность исхода при сохранении условий эксперимента.

Эксперимент, результат которого варьируется при его повторении, называется экспериментом со случайным исходом или случайным экспериментом. Всякий факт, который может произойти в результате случайного эксперимента и его появление не может быть наперед предсказано, называется случайным явлением или случайным событием.

Приведем примеры случайных экспериментов.

1. Эксперимент состоит в подбрасывании монеты закруткой. Наблюдается грань, выпавшая к верху. Всего у эксперимента два исхода: Г (герб), Р (решка). Ни один из исходов не может быть наперед предсказан. Эксперимент случайный.

2. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости. Наблюдается грань, выпавшая к верху. Эксперимент случайный. Всего исходов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. Монета подбрасывается закруткой 2 раза (или, что эквивалентно, две монеты подбрасываются один раз). Наблюдается выпавшая к верху грань. Эксперимент случайный. Его исходы можно записать следующим образом: (ГГ), (ГР), (РГ), (РР). Всего исходов четыре.

4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет герб. Исходами данного случайного эксперимента являются: Г, (РГ), (РРГ),…, (РР…РГ),…. Число исходов эксперимента бесконечно, но счетно.

5. Эксперимент состоит в стрельбе по плоской мишени. Результат – попадание в некоторую точку плоскости с декартовыми координатами (x,y). Так как заранее координаты (x,y) предсказать невозможно, то эксперимент случайный. Число исходов эксперимента бесконечно и несчетно.

Приведенные примеры показывают, что разнообразие случайных экспериментов достаточно велико и разнообразна структура их исходов.

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности случайных явлений. При этом между закономерностью и случайностью не возникает противоречия, поскольку теория вероятностей занимается изучением не любых случайных явлений, а только тех из них, которые обладают следующими свойствами:

1. Случайные явления в принципе могут быть наблюдаемы неограниченное число раз, притом в неизменных условиях.

2. Случайные явления должны обладать свойством статистической устойчивости или, иначе, устойчивостью частот.

Подробнее свойство 2 означает следующее. Предположим, что производится последовательность случайных экспериментов, в каждом из которых возможно появление некоторого события A. Эксперименты проводятся в одинаковых условиях и результаты одних экспериментов не влияют на результаты других (в этом случае говорят, что эксперименты независимы). Пусть - число появлений события А в некоторой серии из n экспериментов. Тогда относительная частота при больших n для статистически устойчивых событий А близка к некоторой константе и лишь незначительно изменяется от одной серии из n экспериментов к другой. Число служит объективной характеристикой степени возможности событию А произойти (проверка свойства статистической устойчивости представляет собой довольно сложную задачу и мы сможем решить ее только в конце семестра после изучения теоремы Бернулли).

Свойства 1 и 2 называются свойствами массовости. Закономерности, устанавливаемые в теории вероятностей для случайных событий, удовлетворяемых свойствам массовости, тем строже и точнее, чем обширнее массив изучаемых событий. При очень большом числе таких событий случайность и непредсказуемость практически исчезают.

Одно же отдельное случайное событие остается в своём результате неопределенным и непредсказуемым и не является предметом изучения теории вероятностей. Так, событие А = {Студент сдаст экзамен по теории вероятностей на ближайшей сессии} не является случайным с точки зрения теории вероятностей, так как отсутствует возможность его повторения неограниченное число раз и притом в неизменных условиях.