2015-07-04
882
На самом деле это не определение, а метод вычисления вероятностей событий во вполне определенных и сильно ограниченных условиях.
Говорят, что случайный эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если:
· пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов
;
· из соображений симметрии можно считать, что все элементарные исходы эксперимента являются равновозможными (т. е. ни один из исходов не имеет предпочтения перед другими).
Согласно классическому определению вероятности вероятность любого события 
, 
равна отношению числа исходов 
, благоприятствующих событию 
, к общему числу исходов 
:
Свойства вероятности, непосредственно вытекающие из классического определения вероятности:
1°. 
для любого события А (доказательство очевидно).
2°. 
(доказательство очевидно).
3°. Если события и 
несовместны 
, то
.
▲ Пусть событию А благоприятствует 
исходов, а событию В - 
исходов. Поскольку события А и В являются несовместными (т.е. не имеют общих исходов), то сумме 
благоприятствует 
исходов. Поэтому
|
|
|
.■
Исходя из свойств 1° - 3° (и только!!!) вытекают также следующие свойства вероятности:
4°. 
.
▲ Поскольку события 
образуют полную группу событий (
), то из свойств 2° и 3° 
.■
5°. 
.
▲ Следует из свойств 2° и 4°, поскольку события 
.■
6°. 
.
▲ Представим событие В в виде: 
. Поскольку события 
являются несовместными, то из свойств 1° и 3° имеем: 
.■
7°. 
.
▲ Следует из свойств 2°, 5° и 6°, так как 
(в частности, свойство 7° означает, что измерять вероятность в процентах некорректно).■
При решении задач с использованием классического определения вероятности, широко используются понятия комбинаторики. Напомним некоторые из них.
Размещением из N элементов некоторого множества по M элементов называется любой упорядоченный набор из M элементов данного множества. Число всех размещений равно 
.
Если в упорядоченном наборе элементы могут повторяться, то этот набор называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями: равно 
.
Перестановкой из N элементов некоторого множества называется размещение из N элементов по N. Число всех перестановок равно 
.
Сочетанием из N элементов некоторого множества по M элементов называется любое подмножество мощности M. Число всех сочетаний равно 
.
Пример 1.
Определить вероятность события А, заключающегося в том, что при бросании двух игральных костей, сумма очков не превысит 4.
Решение. В данном примере важно понимать, что если в качестве исхода эксперимента понимать значение суммы выпавших очков: 
или количество очков, выпавших на каждой из костей без учета порядка их следования: 
, то исходы не являются равновозможными и классическое определение вероятности не применимо. Верное решение в соответствии с классическим определением вероятности можно получить, если только под исходом понимать количество очков, выпавших на каждой из костей с учетом порядка их следования: 
. В этом случае 
, а 
. Поэтому 
.
|
|
|
Пример 2 (Урновая схема).
В урне находится N шаров, из которых M - белые. Из урны наугад извлекается n шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров окажется ровно m белых.
Решение. Исходами в данном эксперименте являются любые подмножества, содержащие n шаров, и они являются равновозможными (за счет слова «наугад»). Число всех исходов равно числу сочетаний из N по n: 
. Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие, состоит из m белых шаров, которые можно выбрать из M белых 
способами. Независимо от выбора белых шаров, небелые шары можно выбрать 
способами. Поэтому общее число благоприятных исходов равно 
. Из этого следует, что 
.
