Множество. Основные операции над множествами. Математическая символика

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Понятие множества является одним из основных первичных понятий математики. Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов произвольной природы. Множества обозначают обычно заглавными буквами A, B, C, D, … латинского алфавита, а элементы множества – соответствующими прописными буквами - a, b, c, d, …. Задаются множества перечислением элементов или с помощью свойства, которым все элементы данного множества обладают. В последнем случае означенное свойство называют характеристическим свойством множества.

Для удобства и полноты вводится в рассмотрение пустое множество . Пустое множество не содержит элементов. Ясно, что содержится в любом множестве.

Часто применяемые математические обозначения.

Символ	Как читается символ	Пример
Символ принадлежности	«принадлежит», «содержится»	a A – “a принадлежит множеству A”
Символ включения	«вложено», «содер- жится», «является подмножеством»	A B – “множество A является подмножеством множества B”
Символ следования	«следует», «влечет»	- “из предложения следует предложение »
Символ эквивалентности	«равносильно», «эквивалентно»	- “предложение равносильно предложению ”
Квантор всеобщности	«всякий», «любой», «произвольный», «для всех» и т.п.	см. ниже
Квантор существования	«существует», «найдется» и т.п.	см. ниже
(…)	В круглые скобки помещают предложения, вытекающие из предыдущих условий	a A b B (a b) – “для любого элемента множества A найдется ему не равный элемент множества B”

Основные операции над множествами

1. Объединение множеств.

Определение 1. Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множеств A и B:

A B = {c: c A либо c B}.

2. Пересечение множеств.

Определение 2. Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B:

A B = {c: c A и c B}.

3. Разность множеств.

Определение 3. Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов множества A, не содержащихся во множестве B:

A\B = {c: c A, но c B}.

Здесь символ читается как “не принадлежит”.