Понятие комплексного числа
Рассмотрим выражения вида
,
где и – действительные числа, – особое число, называемое мнимой единицей. По определению
.
Указанные элементы будем называть комлексными числами. У комплексного числа выделяют
· – действительную часть, пишут ,
· – мнимую часть, пишут .
Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части.
Множество комплексных чисел будем обозначать в дальнейшем .
Арифметические операции
Арифметические операции над комплексными числами определяются через операции над действительными числами.
Пусть , .
1. Сложение.
2. Умножение.
3. Вычитание.
Вычитание определяется как действие, обратное к сложению:
, если .
4. Деление.
Деление определяется как действие, обратное к умножению:
, если .
Векторная интерпретация комплексных чисел.
Модуль и аргумент комлексного числа
Каждому комплексному числу соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , и, наоборот, любой упорядоченной паре действительных чисел отвечает вполне определенное комплексное число . Упорядоченные пары действительных чисел находятся во взаимно одназначном соответствии с точками (или векторами) на плоскости, на которой задана система координат. В результате комплексное число можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами .
|
Координатная плоскость, векторы которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось – действительной осью, а ось – мнимой осью.
Длина вектора называется модулем комплексного числа.
Если -угол между ненулевым вектором и действительной осью, то всякий угол вида , где – целое число, и угол только такого вида, также будет углом, образованным вектором с действительной осью. Множество всех таких углов называется аргументом комплексного числа :
.
Действительная и мнимая части комплексного числа выражаются через его модуль и значение аргумента:
.
Тогда
.
Правая часть равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Операции с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел удобна при перемножении чисел, возведении их в натуральную степень, при извлечении корня.
Если
, ,
то произведение комплексных чисел
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:
,
.
Следует обратить внимание на то, что второе равенство является равенством двух множеств.
Применив последовательно формулу умножения двух чисел к произведению чисел, получим
.
Эта формула называется формулой Муавра.
Извлечение корня из комплексного числа
Если – натуральное число, – комплексное число, то корнем n-ой степени из комплексного числа называется всякое такое число , что
.
Если , то числа и являются значениями корня 2-ой степени из –1.
Следовательно, корень из комплексного числа определяется неоднозначно.
Корень имеет ровно значений, вычисляемых по формуле
.
Сопряженные комплексные числа
Для каждого комплексного числа число называется ему сопряженным числом. Геометрически вектор симметричен вектору относительно действительной оси.
Перечислим основные свойства сопряженных чисел.
1.
2.
3.
4.
5.