Функция. Понятия обратной функции и сложной функции

Понятие функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.

Пусть X и Y – непустые множества элементов произвольной природы.

Определение. Соответствие, при котором каждому элементу x из X отвечает единственный элемент y из Y называется функцией, заданной на множестве X со значениями на множестве Y, или отображением множества X на множество Y.

Функцию обозначают обычно буквой латинского алфавита, например, буквой . Пишут

y = (x), x X,

или

: X Y,

или

X Y.

Элемент х X называют независимой переменной, или аргументом, а соответствующий элемент y Y – зависимой переменной. Множество X называется областью определения функции, множество

Y_f ={ y Y: x X ( = y)}

т.е. множество всех тех y, каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному x, называется множеством значений функции. Очевидно

Y_f Y.

Если при выполняется неравенство , то функция определяет взаимно однозначное соответствие X в Y.

Если : X Y, E – подмножество множества X, то функция f_E: E Y называется сужением функции f на множество E.

Обратная функция

Пусть : X Y и для любого y из Y_f найдется единственный x из X, такой, что = . Тогда существует обратная функция

^–1: Y_f X.

Пример. Рассмотрим функцию на полупрямой X={x: x 0}. Множество значений Y_f = { : 0}, т.е. здесьY=X. Выберем произвольно . Ему отвечает единственный = , такой, что = . Действительно,

= () = ()² = .

Таким образом, обратная функция здесь

.

Сложная функция

Пусть и . Тогда сложная функция , определенная на множестве , ставящая в соответствие каждому точку называется композицией (суперпозицией, сложной функцией) функций и , и обозначается . Таким образом,