Элементарные функции

1 2 3 4 5 6

Понятие элементарной функции

Определение. Функции:

1. линейная ( – постоянная),

2. степеная

3. показательная ,

4. логарифмическая ,

5. тригонометрические ,

6. обратные тригонометрические ,

называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, умножений, вычитание, деление) и конечного числа композиций над основными элементарными функциями, называется элементарной функцией.

В множестве элементарных функций обычно выделяют следующие важные классы.

1. Многочлены (полиномы) – функции вида

Здесь – постоянные (в общем случае, комплексные) числа, называемые коэффициентами многочлена, – натуральное число. Если , то называется степенью многочлена.

Многочлены действительного переменного определены на всей числовой прямой.

2. Алгебраические рациональные функции – функции , представимые в виде

где – многочлены, многочлен не равен тождественно нулю. Рациональные функции определены всюду, кроме тех точек, в которых многочлен, стоящий в знаменателе, равен нулю.

3. Алгебраические иррациональные функции – функции, не являющиеся рациональными и представимые в виде композиции конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.

Функция

является иррациональной, поскольку представима в виде композиции степенной функции

с показателем ½ и многочлена

4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.

К трансцендентным функциям относят, например, функции

Многочлены. Разложение многочленов на множители

1. Рассмотрим многочлен

-ой степени. Здесь – комплексное переменное, т.е. переменое, которому придаются значения из множества комлексных чисел , коэффициенты – комплексные числа.

Основная теорема алгебры многочленов утверждает, что многочлен имеет ровно корней с учетом их кратности:

– комплексные корни многочлена кратности соответственно, .

2. Если многочлен рассматривается над множеством действительных чисел:

– действительное переменное, - действительные коэффициенты, и комплексное число является корнем, то число , сопряженное этому числу, также будет являться корнем многочлена.

В этом случае разложение многочлена на множители над множеством действительных чисел принимает вид:

Здесь

– действительные корни многочлена кратности соответственно, многочлены вторых степеней имеют комплексно сопряженные корни кратности соответственно, сумма кратностей корней .