Рисковая надбавка

Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть компания имеет однородный портфель n договоров с одинаковыми страховыми суммами S и вероятностями наступления страховых случаев р. Компанию интересует не только среднее число случаев пр, но и величина возможного превышения этого значения d и вероятность такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью интегральной теоремы Лапласа:

.

(В более общем случае, когда эта теорема неприменима, используется неравенство Чебышева).

Пример 12. Пусть число договоров п =1000, р =0.1 – вероятность наступления страхового случая. Тогда пр =100 – среднее ожидаемое число случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число случаев не превысит некоторого заданного значения max(m). Если срок действия договоров один год, то какова должна быть эта граница, чтобы она превышалась не чаще, чем раз в 20 лет? Какова при этом рисковая надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценить конкурентоспособность компании.

Вероятность нарушения правой границы: (1-Ф(t))/2=0.05 тогда Ф(t)=0.9 и по таблице находим t =1.645;

.

При надбавке 15.6% можно обеспечить с надежностью 0.95 (нарушение не чаще одного раза в 20 лет), что число страховых случаев не превысит 100+15.6=115.6.

С позиции конкурентоспособности надбавка 15.6% велика, а вероятность разорения (раз в 20 лет) слишком велика (по западно-европейским стандартам). Попытаемся изменить условия.

Пример 13. Пусть в условиях примера 12 мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0.01 (не чаще раза в 100 лет). Тогда Ф(t)=0.98 и t =2.325.Следовательно, d =2.325·9.48=22.1, то есть надбавка увеличилась почти в 1.5 раза и достигла 22.1% – слишком много (для нашего примера).

Пример 14. Рассчитаем надежность, которую может обеспечить надбавка в 10%. d =100·10%=10; t =l 0/9.48=1.053; Ф(t)=0.71; Р_г=(1-0.71)/2=0.145. Итак, вероятность разорения достигла 0.145 (один раз в семь лет), что совершенно неприемлемо.

В данном случае неприятности страховщика вызваны противоречием между относительно высокой вероятностью наступления страхового случая 0.1 и сравнительно небольшим объемом страхового портфеля n =1000.

Проанализируем ситуацию у другого страховщика, который имеет дело с такими же рисками р =0.1, но объем портфеля у него в 10 раз больше: п =10000.

Пример 15. Итак n =10000, р =0.1, nр =1000. Если Р_г=0.05, то Ф(t)=0.9; t =1.645; d =l.645·30=49.35, то есть надбавка составляет 49.35/1000=0.005 против 0.0156 в п.1. – уменьшилась втрое! Это означает, что на каждую тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он разорится (в этом примере мы не рассматриваем другие пути повышения надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании выживают, а мелкие разоряются.

Пример 16. Пусть крупная компания (n =10000) стремится обеспечить вероятность разорения не выше 0.01 (раз в 100 лет). Тогда Ф(t)=0.98; t =2.325; d =2.325·30=69.75; надбавка 69.75/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно преимущество.

Пример 17. Пусть n =10000, d =100, тогда t =100/30=3.33, что соответствует F(t)=0.999 и вероятности разорения 0.0005.

Пример 18. По результатам примеров 15-17 очевидно, что для большой компании целесообразно остановиться на варианте: вероятность разорения 0.01 и надбавка 7%. При этом она решает задачу обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для компании.

Малая компания (примеры 12-14) не имеет ни одного приемлемого варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию. Но у малой компании и своих средств мало.

Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению (точнее, превышению) фактического числа страховых случаев m от ожидаемого n · р на каждые 100 договоров (при одинаковой надежности). Например, вероятность разорения 0.01. Тогда для малой компании получили надбавку 22.1%, поэтому на каждые 100 договоров у этой компании с вероятностью 0.99 число страховых случаев не превысит: n · р ·(1+Q1)=100·0.1·(1+0.221)= =12.21, а для большой компании правая граница доверительного интервала при надбавке в 7% будет равна: 10·1.07=10.7, то есть в среднем на полтора случая меньше.

Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли средняя надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности (7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только потому, что она – большая!). Она даже может снизить свой тариф (по сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по 107 единиц, по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 122 у малой компанией. И тем самым вытеснить конкурентов с рынка. Ничем при этом не рискуя.

Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных компаний.

Если актуарные расчеты показали, что компания не в состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем перестрахования.

Отметим, что рисковая премия + рисковая надбавка = нетто-премия. Если нагрузка на ведение дел f составляет фиксированный процент от тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на (1- f).