Метод гармонической линеаризации

Для исследования возможности появления автоколебаний в нелинейных системах (рисунок 4.3) используется метод гармонического баланса, основанного на гармонической линеаризации нелинейного элемента. В общем случае, при подаче на вход нелинейного элемента гармонического сигнала на его выходе будет негармонический сигнал, содержащий высшие гармоники при разложении в ряд Фурье. При этом основной вклад в появление автоколебаний в замкнутой нелинейной САУ вносит только первая гармоника выходного сигнала нелинейного элемента z(t) = A₁ · sin(wt) + B₁ · cos(wt).

Рисунок 4.3

Для нелинейного элемента вводится комплексный коэффициент усиления W_н(X_m), равный выраженному в комплексной форме отношению амплитуд 1-ой гармоники выходного сигнала z(t) и входного воздействия x(t):

(4.1)

где амплитуда W_н(X_m) равна отношению Z_mi/X_m, а аргумент — сдвигу фаз j между входным сигналом и 1–ой гармоникой выходного сигнала. Переходя к алгебраической форме записи, можно представить W_н(X_m) в виде:

W_н(X_m) = q(X_m) + q'(X_m) (4.2)

где q(X_m) и q'(X_m) называются коэффициентами гармонической линеаризации. Можно показать, что в случае однозначной нелинейности z=F(x):

q'(X_m)=0, т.е. j = 0 (4.3)

Для нелинейности типа "ограничение" ("насыщение"):

, (4.4)

Рисунок 4.4

Из полученного выражения можно найти комплексный коэффициент усиления элемента с релейной характеристикой (a ® 0):

(4.5)

Рисунок 4.5