2015-07-04
786
Найдем те условия, при которых в замкнутой системе (рисунок 4.6) возникают автоколебания.
Рисунок 4.6
Основное уравнение:
(4.6)
Это уравнение соответствует прохождению АФХ разомкнутой системы через точку (-1,j0). В свою очередь, данное уравнение распадается на два:
Ym1 = Xm, баланс амплитуд;
j = p; баланс фаз. (4.7)
Это уравнения гармонического баланса. Фактически первое условие можно рассматривать как уравнение с двумя неизвестными w и Xm. Если решение уравнения существует, то оно дает амплитуду и частоту возможных автоколебаний. Уравнение автоколебаний удобно решать графически (рисунок 4.7) — по Л.С. Гольдфарбу. Для этого необходимо переписать данное уравнение следующим образом:
(4.8)
где левая часть уравнения представляет собой АФХ линейной части системы, а правая — обратную АФХ нелинейного элемента (для 1–ой гармоники), взятую с обратным знаком и построить их на одном графике. Их пересечение определит амплитуду и частоту возможных автоколебаний. Вообще говоря, следует иметь в виду, что не каждое из найденных решений соответствует устойчивым автоколебаниям, которые восстанавливаются после кратковременных возмущений.
Рисунок 4.7
Л.С.Гольдфарб, используя критерий Найквиста, получил следующий критерий устойчивости автоколебаний. Будем двигаться по кривой -1/ WН (Xm) в направлении возрастания Xm (рисунок 4.7). Если разомкнутая линейная система устойчива (или находится на апериодической границе устойчивости), то той точке пересечения характеристик WЛ (jw) и -1/ WН (Xm), в которой мы входим в контур АФХ линейной части (т.А), соответствует неустойчивое периодическое решение, а в точке же выхода из контура (т.В) решение устойчиво и эта точка определяет параметры автоколебаний. Показано, что для однозначных характеристик этот критерий является необходимым, но недостаточным, хотя в практических задачах он приводит к правильным результатам. Если характеристики WЛ (jw) и -1/ WН (Xm) не пересекаются, то решение уравнения (4.8) не существует и автоколебания синусоидальной формы в системе не возможны.
