Реалізація моделі у вигляді пакету прикладних програм (ППП) та проведення

розрахунків. Цей етап включає розробку алгоритмів для числового розв’язування задачі, складання

програм на ЕОМ (можливе використання існуючих ППП з відповідною адаптацією) і безпосереднє

проведення розрахунків. Труднощі цього етапу зумовлені передусім великою розмірністю

економічних задач, необхідністю опрацювання значних масивів інформації. Завдяки високій

швидкодії сучасних ЕОМ вдається проводити числові «модельні» експерименти, вивчаючи

«поведінку» моделі за різних значень деяких умов. Дослідження, що проводяться за допомогою

числових методів, можуть стати суттєвим доповненням до результатів аналітичного дослідження.

Клас економічних задач, які можна розв’язувати числовими методами, значно ширший, ніж клас

задач, доступних аналітичному дослідженню.

4. Перевірка адекватності моделі. Вимога адекватності є суперечною вимозі простоти, і це

слід враховувати, перевіряючи модель на адекватність. Початковий варіант моделі попередньо

перевіряється за такими основними аспектами: чи всі суттєві параметри включені в модель; чи

містить модель несуттєві параметри; чи правильно відображені функціональні зв’язки між

параметрами; чи правильно визначені обмеження на значення параметрів тощо.

Для встановлення відповідності створюваної моделі оригіналу використовують такі методи:

· порівняння результатів моделювання з окремими експериментальними результатами,

одержаними за однакових (подібних) умов;

· використання інших схожих моделей;

· порівняння структури і функціонування моделі з прототипом.

Головним шляхом перевірки адекватності моделі досліджуваного об’єкта виступає практика.

Але вона потребує накопичення статистики, котра не завжди буває достатньою для отримання

надійних даних. Для багатьох моделей перші два методи виявляються менш прийнятними. Тоді

залишається лише один шлях: висновок про подібність моделі та прототипу робити на підставі

порівняння їхніх структур і виконуваних функцій. Такі висновки не мають формального характеру,

оскільки ґрунтуються на досвіді та інтуїції дослідника.

Згідно з результатами перевірки моделі на адекватність приймається рішення про можливість

її практичного використання чи проведення коригування.

5. Аналіз числових результатів та прийняття відповідних рішень. Результати досліджень

подаються у вигляді, зручному для огляду, і на основі обробки отриманих результатів проводиться

аналіз матеріалів дослідження моделі. На цьому, завершальному, етапі виникає питання про

правильність і повноту результатів моделювання, про можливість практичного застосування

останніх, і, найголовніше, про досягнення цілей дослідження.

Звернімо увагу на зворотні зв’язки етапів, які виникають унаслідок того, що в процесі

дослідження виявляються недоліки попередніх етапів моделювання. Недоліки, які не вдається

виправити на проміжних етапах моделювання, усуваються в наступних циклах. Але результати

кожного циклу мають і цілком самостійне значення. Розпочавши дослідження від побудови простої

моделі, можна швидко одержати корисні результати, а потім перейти до створення досконалішої

моделі.

1.6 Елементи класифікації економіко-математичних моделей

Для класифікації економіко-математичних моделей використовують різні класифікаційні

ознаки.

За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-

аналітичні, що використовуються під час дослідження загальних властивостей і закономірностей

економічних процесів, і прикладні, що застосовуються у розв’язанні конкретних економічних задач

(моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).

Відповідно до загальної класифікації математичних моделей вони поділяються на

функціональні та структурні, а також проміжні форми (структурно-функціональні). Типовими

структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Прикладом функціональної моделі може

слугувати модель поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин.

Моделі поділяють на дескриптивні та нормативні. Прикладом дескриптивних моделей є

виробничі функції та функції купівельного попиту, побудовані на підставі опрацювання

статистичних даних. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального

(раціонального) планування, що формалізують у той чи інший спосіб цілі економічного розвитку,

можливості і засоби їх досягнення.

За характером відображення причинно-наслідкових аспектів розрізняють моделі жорстко

детерміновані і моделі, що враховують випадковість і невизначеність.

За способами відображення чинника часу економіко-математичні моделі поділяються на

статичні й динамічні.

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних

залежностей. Важливо виокремити клас лінійних моделей, що набули значного поширення завдяки

зручності їх використання. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями є суттєвими не лише з

математичного погляду, а й у теоретико-економічному плані, адже багато залежностей в економіці

мають принципово нелінійний характер.

За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються в модель, вони

поділяються на відкриті і закриті. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна містити

хоча б одну ендогенну змінну. Повністю закриті економіко-математичні моделі, тобто такі, що не

містять екзогенних змінних, надзвичайно рідкісні. Переважна більшість економіко-математичних

моделей посідає проміжну позицію і розрізняється за ступенем відкритості (закритості).

Класифікація видів математичних моделей може проводитися й за такими ознаками:

аналітичне та комп’ютерне моделювання (рис.2.3).

Рисунок 1.3 –Аналітичне та комп’ютерне моделювання

Для аналітичного моделювання характерним є те, що процеси функціонування елементів

системи записують у вигляді деяких математичних співвідношень (алгебраїчних, інтегро-

диференційних, кінцево-різницевих тощо) чи логічних умов.

Комп’ютерне моделювання характеризується тим, що математична модель системи

(використовуючи основні співвідношення аналітичного моделювання) подається у вигляді деякого

алгоритму та програми, придатної для її реалізації на комп’ютері, що дає змогу проводити з нею

обчислювальні експерименти. Залежно від математичного інструментарію (апарату), що

використовується в побудові моделі, та способу організації обчислювальних експериментів можна

виокремити три взаємопов’язані види моделювання: чисельне, алгоритмічне (імітаційне) та

статистичне.

У чисельному моделюванні для побудови комп’ютерної моделі використовуються методи

обчислювальної математики, а обчислювальний експеримент полягає в чисельному розв’язанні

деяких математичних рівнянь за заданих значень параметрів і початкових умов.

Алгоритмічне (імітаційне) моделювання (може бути детермінованим та стохастичним) — це

вид комп’ютерного моделювання, для якого характерним є відтворення на комп’ютері (імітація)

процесу функціонування досліджуваної складної системи.

Статистичне моделювання — це вид комп’ютерного моделювання, який дозволяє отримати

статистичні дані відносно процесів у модельованій системі.

1.7 Роль прикладних економіко-математичних досліджень

Можна виокремити щонайменше чотири аспекти застосування математичних методів і

моделей у вирішенні практичних проблем.

1. Удосконалення системи економічної інформації. Математичні методи й моделі дають змогу

упорядковувати економічну інформацію, виявляти недоліки в наявній інформації та розробляти

вимоги до підготовки нової інформації чи її коригування. Розроблення і застосування економіко-

математичних моделей вказують шляхи вдосконалення системи економічної інформації, орієнтованої

на вирішення певних завдань планування та управління.

2. Інтенсифікація <_)_,_ _B_>_і підвищення точності економічних розрахунків. Формалізація економічних

задач і застосування комп’ютерів значно прискорюють типові, масові розрахунки, підвищують

точність і скорочують трудомісткість, дають змогу проводити багатоваріантні економічні

дослідження та обґрунтування складних заходів, недосяжні за панування «ручної» технології.

3. Поглиблення кількісного аналізу економічних проблем. Завдяки застосуванню економіко-

математичного моделювання створюються нові можливості економічного аналізу; вивчення

чинників, які впливають на економічні процеси; кількісного оцінювання наслідків змін умов

розвитку економічних об’єктів тощо.

4. Розв’язання принципово нових економічних задач. За допомогою математичного

моделювання вдається розв’язувати економічні задачі, які в інший спосіб розв’язати практично

неможливо, наприклад, відшукання оптимального варіанта народногосподарського плану, імітація

народногосподарських заходів, автоматизація контролю за функціонуванням складних економічних

об’єктів.

Сфера практичного застосування економіко-математичного моделювання обмежується

можливостями та ефективністю формалізації економічних проблем і ситуацій, а також станом

інформаційного, математичного, технічного забезпечення використовуваних моделей. Намагання

будь-якою ціною застосувати математичну модель може не дати очікуваних результатів через

відсутність необхідних умов.

1.8 «Павутиноподібна» модель ринку (самостійна робота)

Як приклад економічної моделі розглянемо спрощений (ідеалізований) варіант так званої «па-

вутиноподібної» моделі, яка описує процес формування попиту і пропозиції певного товару чи виду

послуг на конкурентному ринку (за умов досконалої конукренції).

Йдеться про формалізацію економічного закону попиту та пропозиції, який проголошує:

· кількість товару, який можна продати на ринку (тобто попит), змінюється у напрямі, про-

тилежному до зміни ціни товару;

· кількість товару, яку продавці виробляють і доставляють на ринок (тобто пропозиція), змі-

нюється у тому ж напрямі, що й ціна;

· реальна ринкова ціна формується на рівні, за якого попит і пропозиція наближено дорів-

нюють одне одному (приблизно збігаються, із деякою заданою точністю), тобто перебувають у рів-

новазі; ціна, за якої досягається рівновага між попитом і пропозицією, називається рівноважною.

Розглядаючи «павутиноподібну» модель, приймають гіпотезу, що функції пропозиції і попиту

залежать лише від ціни товару:

QS = S (X), QD = D (X), (1.1)

де QS — кількість товару, яку товаровиробники доставляють на ринок, тобто пропозиція; S (X) —

деяка монотонно зростаюча функція; QD — кількість товару, який можна продати на ринку, тобто

попит; D (X) — деяка монотонно спадна функція.

Графіки попиту і пропозиції перетинаються у точці рівноваги, а ціна, що відповідає цій точці

X = Xe, і є рівноважною ціною. Враховуючи властивості кривих попиту і пропозиції, рівноважний

розв’язок є стійким у тому сенсі, що якщо ціна строго фіксована і рівна рівноважній ціні, то товаро-

виробник, максимізуючи прибуток, доставляє на ринок товар у кількості () Qe = S Xe; одночасно

споживач, що намагається максимізувати свою функцію корисності, формує попит () Qe = D Xe.

При встановленні рівноважної ціни на ринку досконалої конкуренції кількість товару, що пропону-

ється товаровиробником за цією ціною, дорівнює попиту споживача:

S (Xe) = D (Xe). (1.2)

Динамічні нерівноважні моделі ринку використовуються, коли у початковий момент часу ціна

на ринку відрізняється від рівноважної. При цьому процес встановлення рівноважної ціни може бути

описаний різними моделями за одних і тих самих функцій попиту й пропозиції. Розрізняють два під-

ходи:

1) неперервний, коли динаміка цін описується диференційним рівнянням;

2) дискретний, коли значення змінних на проміжку часу [ t; t+1 ] вважаються сталими. В цьо-

му разі послідовним інтервалам часу [ t; t+1 ] відповідають значення ціни Xt, попиту Dt і пропозиції

St.

Розглянемо «павутиноподібну» модель із дискретним часом. Нехай Xt — ціна товару в мо-

мент часу t, Dt і St — кількість товару, купленого і пропонованого відповідно на ринку в той самий

момент часу t.

У моделі приймаються дві гіпотези: 1) виробники-продавці, формуючи пропозицію, орієнту-

ються на ціну попереднього періоду; 2) ринок завжди перебуває у стані локальної рівноваги.

Подамо математичну формалізацію цих положень:

1) обсяг пропозиції на ринку в момент часу t визначається значенням ціни попереднього пе-

ріоду: () St = f Xt -1, де f (X) — деяка монотонно зростаюча функція від аргумента X (тобто від

ціни);

2) на ринку в кожний момент часу t встановлюється рівноважна ціна Xt, причому ця ціна є

розв’язком рівняння Dt = St. Якщо () Dt = g Xt, де g (X) — монотонно спадна функція від аргу-

мента X (тобто від ціни), то рівняння для визначення ціни t X матиме вигляд: () () g Xt = f Xt -1.

Рівноважний стан «павутиноподібної» моделі буде стійким, якщо існують границі:

lim (1) lim (); lim t e, t t t t t

f X = g X X = X

®¥ - ®¥ ®¥

(1.3)

де Xe — рівноважна ціна.

Математичні співвідношення, що відображають закон попиту-пропозиції, можуть бути проі-

люстровані рис.1.4.

Dt,

St

Dt

S 4

D 3 S 3

D 2

X 2 X 3

D 4

Xe

D 1

St

S 2

X 1 Ціна, X

Рисунок 1.4 – Графік формування попиту-пропозиції

Як бачимо, процес формування рівноважної ціни почався з призначення в 1-й (початковий)

момент часу ціни на рівні X 1. Продовження цього процесу (індексовано стрілками) «павутиноподіб-

но» прямує до точки перетину кривих g (X) і f (X).

Щоб описана модель з економічної перетворилась в економетричну, необхідно говорити не

взагалі про закон попиту і пропозиції, а про конкретну його дію в даному секторі економіки, в пев-

ний час і стосовно конкретного товару (чи виду послуг). Відповідно, конкретизація вигляду функцій

g (X) і f (X) повинна проводитись на підставі статистичних даних величин Xt, Dt, St, де

t Î{1,, T }, Т —кількість періодів, протягом яких здійснювався моніторинг і отримані дані.

Приклад ≪Павутиноподібної≫ моделі фірми

Підприємець збирається вкласти кошти у створення фірми, котра випускатиме товар і реалізо-

вуватиме його на ринку. Його цікавить, як поводитиме себе ціна товару за зміни обсягів вироб-

ництва, чи буде вона стабільною за певних умов.

Аналіз і розв’язання

Розглянемо стохастичну модель з навчанням. Припустимо, що попит на t -му проміжку часу

залежить лінійно від поточної ціни. Вважатимемо, що попит на ринку має випадковий характер (є

випадковою величиною). Для формалізованого опису необхідно, визначити на основі доступної ін-

формації оцінки коефіцієнтів лінійного рівняння у моделі:

Dt = a – bXt + ut, (1.4)

де Dt – попит на t -му проміжку часу; a, b – коефіцієнти лінійної регресії (b > 0); Xt – ціна одиниці

продукції на t -му проміжку часу; ut – випадкова величина, що має нормальний закон розподілу з ну-

льовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням 

u.

У результаті відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної ре-

гресії, й рівняння лінійної регресії матиме вигляд:

Ďt = A – BXt, (1.5)

де Ďt – розрахункове значення попиту на t -му проміжку часу: A, B – оцінки значень коефіцієнтів лі-

нійної регресії (B > 0).

Припустимо, що пропозиція впродовж поточного проміжку часу також лінійно (в середньому)

залежить від ціни, але не поточної, а такої, що являє собою комбінацію цін у двох попередніх періо-

дах часу. У найпростішому випадку це може бути середнє значення цін протягом двох попередніх

періодів. Крім того, вважатимемо, що пропозиція на ринку має випадковий характер (є випадковою

величиною). Отже, для моделювання пропозиції можна використовувати таку залежність:

St = c + kX() + vt, (1.6)

де St – пропозиція впродовж t -го проміжку часу; c, k – коефіцієнти лінійної регресії (k > 0); X() – се-

редньозважене значення цін на двох попередніх проміжках часу; vt – випадкова величина, що має но-

рмальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і середньоквадратичним відхилен-

ням sv.

Після відповідних обчислень можна отримати оцінки значень коефіцієнтів лінійної регресії, і

рівняння лінійної регресії матиме такий вигляд:

Št = C – KX(), (1.7)

де Št – розрахункове значення пропозиції впродовж t -го проміжку часу, C, K – оцінки значень коефі-

цієнтів лінійної регресії (K >0).

Ціна X() може визначатись за формулою

X() = Xt1 – (Xt1 — Xt2), (1.8)

де Xt1 – ціна на (t1) -му проміжку часу; X t2 – ціна на (t-2) -му проміжку часу;  – ваговий коефіцієнт,

значення котрого задається в діапазоні: 0 £ r £ 1.

До моделі необхідно ще долучити рівняння локальної рівноваги ринку:

St = Dt + wt, (1.9)

де St – пропозиція на t -му проміжку часу; Dt – попит на t -му проміжку часу; wt – випадкова величина,

котра має заданий закон розподілу. Можна прийняти гіпотезу, що wt має нормальний закон розподілу

з нульовим математичним сподіванням та середньоквадратичним відхиленням sw. З урахуванням

(1.5) та (1.7) рівняння локальної рівноваги матиме вигляд:

Št = Ďt (1.10)

Система рівнянь (1.4) – (1.10), після відповідних простих перетворень зводиться до такого ви-

разу:

Xt = F (Xt1, Xt2), (1.11)

де F(Xt1, Xt2) – оцінка функції кореляційно-регресійного зв’язку між змінними Xt, Xt1, Xt2.

Спочатку певним наближеним способом визначають ціну для перших двох проміжків часу.

Після цього можна проводити обчислення згідно з виразом (1.11) необхідну кількість разів (ітерацій).

Задача аналізу полягає у дослідженні впливу параметрів системи на характер залежності ціни

як функції часу, а також у визначенні рівноважної ціни.

ЛЕКЦІЯ 2. ОПТИМІЗАЦІЙНІ ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ

Анотація

Постановка задачі економіко-математичного моделювання. Приклади задач економіко-

математичного моделювання. Задача визначення оптимального плану виробництва. Задача про ≪ді-

єту≫. Транспортна задача.

2.1 Постановка задачі економіко-математичного моделювання

Подамо схематично довільну економічну систему у такому вигляді (рис.2.1):

y 1 y 2 … y і … y m

х 1

х 2

хj

хn

сk F

Рисунок 2.1 –Схема економічної системи

Параметри сk (k = 1, 2,..., l) є кількісними характеристиками системи. Наприклад, якщо йдеть-

ся про таку економічну систему, як сільськогосподарське підприємство, то його параметрами є наяв-

ні ресурси (земельні угіддя, робоча сила, сільськогосподарська техніка, тваринницькі та складські

приміщення), рівень урожайності сільськогосподарських культур, продуктивності тварин, норми ви-

трат ресурсів, ціни та собівартість проміжної і кінцевої продукції, норми податків, проценти за кре-

дит, ціни на куповані ресурси тощо.

Частина параметрів сk для певної системи може бути сталими величинами, наприклад, норми

висіву насіння сільськогосподарських культур, норми споживання тваринами кормів тощо, а частина

— змінними, тобто залежатиме від певних умов, як, скажімо, урожайність сільськогосподарських ку-

льтур, собівартість продукції, реалізаційні ціни на рослинницьку й тваринницьку продукцію.

Змінні величини бувають незалежними чи залежними, дискретними чи неперервними, детермі-

нованими або випадковими. Наприклад, залежною змінною є собівартість продукції, незалежною від

процесу функціонування підприємства величиною є початковий розмір статутного фонду, дискрет-

ною – кількість корів, неперервною – площа посіву озимої пшениці, детермінованою – норма висіву

насіння кукурудзи на гектар, випадковою – кількість телят, які народяться у плановому періоді.

Вхідні змінні економічної системи бувають двох видів: керовані xj (j =1,2,..., n), значення яких

можна змінювати в деякому інтервалі; і некеровані змінні yi (і =1,2,..., m), значення яких не залежать

від волі людей і визначаються зовнішнім середовищем. Наприклад, обсяг придбаного пального – ке-

рована, а температура повітря – некерована змінна. Залежно від реальної ситуації керовані змінні

можуть переходити у групу некерованих і навпаки. Наприклад, у разі насиченого ринку обсяги прид-

бання дизельного палива є керованою змінною величиною, а за умов дефіциту цього ресурсу – неке-

рованою.

Кожна економічна система має певну мету свого функціонування. Це може бути, наприклад,

отримання максимуму чистого прибутку. Ступінь досягнення мети, здебільшого, має кількісну міру,

тобто може бути описаний математично.

Нехай F – вибрана мета (ціль). За цих умов вдається, як правило, встановити залежність між вели-

чиною F, якою вимірюється ступінь досягнення мети, вхідними змінними та параметрами системи:

F = f (x1, x2,..., xn; y1, y2,..., ym; c1, c2,..., cl). (2.1)

Функцію F називають цільовою функцією, або функцією мети. Для економічної системи це є

функція ефективності її функціонування та розвитку, оскільки значення F відображує ступінь досяг-

нення певної мети.

У загальному вигляді задача економіко-математичного моделювання формулюється так:

Знайти такі значення керованих змінних xj, щоб цільова функція набувала екстремаль-