double arrow

Метод гармонической линеаризации


Многоконтурная нелинейная система (НС) представляется в одноконтурном виде (рис.3.1). Применительно к курсовой работе будем рассматривать однозначные (беспетлевые) нелинейные характеристики , описываемые выражением

. (3-1)

Рис. 3.1.

Линейная часть описывается частотной передаточной функцией

, (3-2)

где - модуль передаточной функции; - аргумент передаточной функции.

Метод гармонической линеаризации основан на двух допущениях :

а) в замкнутой системе по каким-либо причинам существуют периодические колебания ;

б) линейная часть обладает свойством фильтра , т.е. ослабляет высокочастотные составляющие периодических колебаний :

, n = 2,3...

При этом колебания на входе НЭ приближенно имеют синусоидальный характер симметричного

(3-3)

или несимметричного вида с постоянной составляющей Хо

(3-4)

В курсовой работе рассматриваются нелинейные характеристики с нечетной симметрией , внешние возмущения отсутствуют (g(t)=0). В этом случае постоянная составляющая Хо=0. Поэтому гармоническая линеаризация выражения (3-1) проводится при симметричных колебаниях (3-4).

Гармонически линеаризованное уравнение (3-1) имеет вид

, (3-5)

где и – коэффициенты гармонической линеаризации.

(3-6)

, (3-7)

Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена в результате подстановки имеет вид

. (3-8)

Для однозначных нелинейностей , поэтому

. (3-9)

Методика вычислений коэффициентов гармонической линеаризации изложена в [1] , выражения коэффициентов для различных нелинейностей приведены в [2].

Прежде чем перейти к нахождению периодических режимов , остановимся на структурных преобразованиях в НС. Для определения устойчивости периодических режимов в НС структурные схемы приводятся к виду (рис.3.1) с помощью линейных и нелинейных преобразований. Особенность структурных преобразований в НС состоит в том, что независимо от вида преобразований амплитуда сигнала на входе НЭ не должна измениться, поэтому нельзя переносить линейные звенья через НЭ. При линейных преобразованиях передаточные функции замкнутой системы до и после преобразований совпадают (рис.3.2).

Рис. 3.2. Линейные преобразования структурных схем

Передаточная функция системы до преобразования (рис.3.2,а)

, (3-10)

и после преобразований (рис.3.2,б)

(3-11)

совпадают, следовательно, эти преобразования эквивалентны и позволяют исследовать не только устойчивость, но и строить переходные процессы по преобразованной схеме.

Нелинейные преобразования [3] структурных схем не являются эквивалентными и позволяют исследовать только устойчивость собственного движения системы. При правильно преобразованных схемах характеристические уравнения замкнутых систем должны совпадать.




После преобразования структурной схемы системы к одноконтурному виду и гармонической линеаризации нелинейности необходимо частотным методом исследовать возможность возникновения устойчивых периодических режимов (автоколебаний). Характеристическое уравнение замкнутой системы

(3-12)

преобразуется (по методу Л.С. Гольдфарба) к виду

(3-13)

Согласно методу на комплексной плоскости строятся годографы и . Если эти годографы пересекаются , то возможен периодический режим , устойчивый при выполнении условия

, (3-14)

где

При использовании логарифмических характеристик для определения автоколебательных режимов проверяется выполнение условий баланса амплитуд

(3-15)

и баланса фаз

. (3-16)

При переходе к логарифмическим характеристикам и учитывая , что для однозначных нелинейностей , вместо (3-15) и (3-16) можно записать :

, (3-17)

. (3-18)

Обозначим ,

Условие устойчивости автоколебаний имеет вид :

. (3-19)

Звездочкой обозначены те значения амплитуды А и частоты при которых выполняются условия (3-17) и (3-18).

Графоаналитические исследования периодических режимов в отчете можно представить на комплексной плоскости (см.пример 3.1) или в логарифмических координатах в соответствии с [1].

Пример 3.1.:Дано:

W1(S) = ; W2(S) = ; W3(S) = .

Нелинейный элемент типа «зона нечувствительности»: a = 20В; tg a = 1.

Нелинейный элемент расположен в прямой цепи двухконтурной системы (положение 1). В этом случае приведенная ко входу нелинейного элемента структурная схема примет вид , показанный на рис. 3.3.



Рис.3.3 Структурная схема , приведенная ко входу нелинейного элемента.

Передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением

W(S) = = = ,

где W11(S) = ;

W22(S) = .

L(w) = ;

j(w) = ,

где , - соответственно ЛАХ и ЛФХ замкнутого внутреннего контура , определяемые из номограммы замыкания по и .

Данные вычислений сведены в табл. 3.1, ЛАХ и ЛФХ показаны на рис. 3.4, АФХ линейной части и характеристика нелинейный элемента - на рис. 3.5 Из рис. 3.5 видно , что условия гармонического баланса не выполняются , автоколебаний в системе не будет.

Качественно построенные переходные функции при малых и больших амплитудных значениях управляющего воздействия (величины рассогласования) показаны на рис. 3.6.

Рис.3.4ЛАХ и ЛФХ линейной части системы

Рис. 3.5. АФХ линейной части и гармоническая характеристика нелинейного элемента

Рис. 3.6. Переходные процессы системы : a - линейной; б - нелинейной при малых амплитудах; в - нелинейной при больших амплитудах


Табл. 3.1

Характеристики Значения  
  0.1 0.2 0.5  
1/p -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90  
1/1+p -5 -12 -25 -45 -62 -78 -83 -88 -90 -90  
1/1+0,05p -2 -7 -15 -25 -45 -67 -80  
  -95 -102 -115 -137 -159 -183 -198 -223 -247 -260  
  -5 -12 -25 -47 -69 -93 -108 -133 -157 -160  
  -5 -22 -31
  -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -0.75 -0.75 -0.75 -3.5 -20 -41  
  -5 -10 -25 -50 -95 -150 -160  
  -90 -90 -90 -95 -100 -115 -140 -185 -240 -260  
  -10 -35 -52  
  39.2 34.2 24.2 19.2 12.2 4.2 -0.75 -8.5 -33 -52  

Пример 3.2. Дано :

W1(S) = ; W2(S) = ; W3(S) = .

Нелинейный элемент типа зона нечувствительности : с = 20В; tg a = 1.

Нелинейный элемент расположен в цепи корректирующей обратной связи (положение 3). В этом случае приведенная ко входу нелинейного элемента структурная схема примет вид , показанный на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Структурная схема , приведенная ко входу нелинейного элемента

Передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением

W(S) = = = .

ЛАХ и ЛФХ вычисляются по формулам :

L() = ;

() = .

ЛАХ звена может быть определена с помощью номограммы замыкания по путем замены знаков при и на противоположные. В нашем случае достаточно изменить знаки , .Тогда

L() = ,

() = .

Данные вычислений сведены в табл. 3.2. ЛАХ и ЛФХ показаны на рис. 3.8, АФХ линейной части и характеристика нелинейный элемента – на рис. 3.9. Изображенная на рис. 3.9 АФХ соответствует системе, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом, и при анализе устойчивости автоколебаний используется обобщенный критерий Найквиста. В нашем случае имеем:

W(S) = = = .

Устойчивость в разомкнутом состоянии можно проанализировать путем исследования характеристического уравнения , а в замкнутом - :

.

Рис. 3.8. ЛАХ и ЛФХ линейной части нелинейной системы

Табл. 3.2

  Значения  
Характеристики 0.1 0.2 0.5  
  -60 -55 -45 -37 -28 -12 -1  
  -60 -55 -45 -37 -28 -9.2 1.8  
   
  -5 -22 -33
  -5 -12 -25 -47 -69 -93 -108 -133 -157 -160  
   
  -40 -35 -25 -20 -13 -2.2 -3.2 -22 -33  
   
                         

Условие устойчивости по Гурвицу имеет вид .

Рис. 3.9. АФХ линейной части системы и гармоническая характеристика нелинейного элемента

Так как , , , , , система неустойчива в разомкнутом состоянии. Используя теорему разложения , легко показать , что характеристическое уравнение имеет один отрицательный вещественный корень и два комплексно-сопряженных корня с положительной вещественной частью. Анализируя , получим , что указывает на устойчивость системы в замкнутом состоянии.

Из рис. 3.8 и 3.9 видим , что условия гармонического баланса выполняются , и на основании критерия устойчивости автоколебаний делаем заключение , что в системе с нелинейным элементом типа зона нечувствительности , расположенным в цепи корректирующей обратной связи , возникают устойчивые автоколебания в точке ас параметрами

, .

По графику зависимости :

определим : , .

Дальнейший расчет и анализ рекомендуется провести самостоятельно.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: