Частотный метод исследования абсолютной устойчивости процессов

В случае устойчивой линейной части достаточный критерий абсолютной устойчивости процессов в нелинейной системе (рис.3.1) с однозначной нелинейной характеристикой, отвечающей требованию

. (3-20)

при ограниченном внешнем воздействии имеет вид [4]

(3-21)

или

(3-22)

Условие (3-20) ограничивает максимальное значение производной нелинейной характеристики величиной K.

На комплексной плоскости (рис.3.10) выполнение условия (3-22) означает, что АФХ должна быть для всех расположена правее прямой .

Для исследования абсолютной устойчивости процессов в НС с помощью логарифмических частотных характеристик запишем (3-22) в виде

(3-23)

где ;

Рис. 3.10

Условие (3-23) всегда выполняется при , и поэтому необходимо исследовать систему только при значениях , при которых .

Условие (3-23) запишем в виде

. (3-24)

Переходя к логарифмическим характеристикам, получим условие абсолютной устойчивости процессов

, (3-25)

которое должно выполняться при значениях , удовлетворяющих неравенству

, m = 0, 1, 2,... (3-26)

Обозначим

(3-27)

ЛАХ приведенной линейной части:

. (3-28)

ЛАХ критического коэффициента передачи.

Рис. 3.11

Рассчитанная по (3-28) зависимость от фазового сдвига приведена на рис.3.11 и полностью определена в диапазоне

(3-29)

изменения , определяющего устойчивость системы.

Методика практического применения логарифмического метода исследования абсолютной устойчивости процессов в НС, вызванных ограниченным воздействием , состоит в следующем:

1. По известной нелинейной характеристике найти максимальное значение производной .

В общем случае может быть задан только класс нелинейных характеристик, но при этом должна быть задана и величина k.

2. Строится ЛАХ приведенной непрерывной и ФЧХ .

3. В диапазоне частот, где выполняется условие (3-29) строится ЛАХ критического коэффициента передачи в соответствии с выражением (3-28).

4. Проверяется выполнение условия (3-25), т.е. характеристики и не должны пересекаться. При этом процессы в НС, вызванные ограниченным воздействием будут абсолютно устойчивы, т.е. асимптотически устойчивы в целом при различных однозначных нелинейных характеристиках, производная которых принадлежит сектору .

5. Если при заданном значении условие абсолютной устойчивости (3-25) не выполняется, то необходимо найти граничное значение при котором условие (3-25) выполняется (см. пример 3.3). Однако следует учитывать, что условие (3-25) дает достаточное, но не необходимое условие устойчивости. Это значит, что при выполнении (3-25) система будет наверняка устойчива, но возможны и другие сочетания параметров, при которых система будет также устойчива. Для проверки необходимо построить переходной процесс.

Пример 3.3. Рассмотрим систему с астатизмом первого порядка, передаточной функцией

и параметрами =20с , =0,04с, =0,01с, =0,005с, =0,02c.

Необходимо определить граничное значение коэффициента для нелинейной функции, удовлетворяющей условию (3-20), при котором процессы в системе абсолютно устойчивы. На рис.3.12 показаны ЛЧХ линейной части системы , ФЧХ - и ЛЧХ критического коэффициента передачи .

Для определения переместим , до касания с и определим величину перемещения на частоте касания

Рис. 3.12

, (3-30)

а затем из выражения

(3-31)

определяется значение коэффициента подъема . Граничное значение вычисляется по выражению

. (3-32)

В данном примере =3 дБ.

Поскольку , то ЛАХ линейной части построена при . Следовательно,

При неустойчивой линейной части структурная схема НС (рис. 3.1) преобразуется к виду (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Передаточная функция и нелинейная характеристика преобразованной системы связаны с и соотношениями

, (3-33)

. (3-34)

Коэффициент выбирается из условия устойчивости внутреннего контура с ПФ .Если производная от нелинейной характеристики принадлежит полосе , т.е.

, (3-35)

то для абсолютной устойчивости процессов в системе с одним нелинейным элементом достаточно, чтобы при заданном выполнялось условие [4]

. (3-36)

Выражение (3-36) можно записать в виде

, (3-37)

где . (3-38)

Условие (3-37) совпадает по виду с условием (3-21).

Таким образом, в случае неустойчивой линейной части необходимо:

а) используя ЛЧХ линейной части , выбрать параметр таким образом, чтобы замкнутая система согласно критерию Найквиста была устойчива, а запас по фазе . Для этого ЛАХ перемещают вдоль оси ординат и определяют частоту среза при которой . Величина смещения ЛАХ составляет ;