Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле , где М(х₀;у₀;z₀), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0.

Пример 1.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC).

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим уравнение плоскости (SBC), используя координаты точек В(2;2;0), С(0;2;0), S(1;1;4) и решив систему уравнений:

a∙ 2+ b ∙2+c∙0+d = 0

a ∙ 0 +b ∙ 2 +c∙0+d = 0

a ∙1 +b ∙1 +c∙4+d = 0.

Получим, что d= -2∙ b, a=0, c = . Таким образом, уравнение плоскости примет вид:

0∙х +4∙у + z - 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d=- 8.

Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты:

А(2;0;0). Значит, =2, = 0, =0. По формуле нахождения расстояния от точки до плоскости имеем:

Ответ: .