Пример 4. Исследование функции и построение ее графика

Исследуем функцию и построим её график.

1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции -- вся ось .

2). Функция -- нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда . Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

Периодической функция не является.

3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем:

Таким образом, асимптотой как при , так и при служит прямая .

5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: , причём -- единственное решение уравнения . Значит, график пересекает сразу и ось , и ось в начале координат.

Очевидно, что при и при .

6). Найдём производную:

Очевидно, что при всех ; единственная точка, в которой -- это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную.

7). Найдём вторую производную:

Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и , при этом на интервалах и -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство , здесь функция вогнута. Все три точки, в которых , то есть точки , являются точками перегиба.