Доказательство

Запишем уравнение кривой безразличия в виде: u(х_1, х₂)-u* = 0

Данное тождество задает х₂ как неявную функцию от аргумента х₁

Используя правило дифференцирования неявной функции, находим производную dх₂ /dх₁:

Поскольку из свойств функции полезности следует, что предельные полезности являются неотрицательными величинами, то, следовательно, в левой части равенства стоит неположительная величина. Это означает, что , т. е. зависимость х₂ от х₁ представляет собой убывающую функцию, т.о. КБ представляют собой тоже график убывающей функции.

4. В случае стандартных предпочтений потребителя, кривая безразличия представляет собой график выпуклой вниз функции.

Вспомним, что функция y = f(x) называется выпуклой вниз, если для любых значений аргумента х₁ и х₂ имеет место следующее соотношение: f(aх₁+(1-a)х₂)≤af(х₁)+(1-a)f(х₂)

Достаточным условием выпуклости функции вниз является то, что .