Устойчивость по суммированию

Определение.

Распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин называют распределением «хи-квадрат» с степенями свободы и обозначают .

На графике ниже изображены плотности распределения при равном 1, 4 и 8.

Вид плотности -распределения в зависимости от числа степеней свободы

Мы будем обозначать через случайную величину с распределением .

Свойства -распределения:

1.

Устойчивость по суммированию.

Пусть случайная величина имеет распределение , случайная величина имеет распределение , причем эти случайные величины независимы. Тогда их сумма имеет распределение .

Доказательство. Пусть , независимы и имеют стандартное

нормальное распределение. Тогда

а их сумма — как , т.е. имеет распределение .

2.

Моменты распределения .

Если имеет распределение , то

Доказательство. Пусть , , независимы и имеют стандартное

нормальное распределение. Тогда

Поэтому