A b c X

рис.46

На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d).

Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину.

На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b.

Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми.

Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢(x) i f¢¢(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢¢(x)<0, i угнута, якщо f¢¢(x)>0, для всіх х з цього інтервала.

Так, напр., відповідно на рис.1 f¢¢(x)<0, якщо хÎ(a, b), f¢¢(x)>0, якщо хÎ(c, d).

Точки перегину знаходяться за наступною теоремою

Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо ,¥ або не існує і , змінює знак при переході через х₀, то х₀ є точкою перегину f(x).

Приклад. Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутості та точки перегину функції.

Розв’язання. Задана функція визначена для всіх . Знайдемо її похідні

Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки.

Якщо на проміжку, то графік угнутий;