Загальна схема дослідження функцій

Нехай задана функція y=f(x). Необхідно її дослідити і на основі отриманих результатів побудувати її графік.

Схема дослідження функцій.

1. Знаходимо область визначення функції. Якщо f(x) не існує в окремих точках, напр. х=х₀, то рекомендується знайти Якщо якась із цих границь нескінченість, то х=х₀ – вертикальна асимптота. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат.

2. Знаходимо похилі асимптоти.

3. Перевіряємо функцію на парність, непарність, періодичність.

Якщо f(–x)=f(x) – парна функція, то графік її симетричний відносно вісі ОY. Якщо ж функція непарна f(–x)= – f(x), то графік має центральну симетрію відносно точки О(0,0).

4. За допомогою першої похідної f¢(x) знаходимо інтервали, на яких f(x) зростає або спадає. Знаходимо екстремуми.

5. За допомогою другої похідної ¦¢¢(х) знаходимо інтервали опуклості, угнутості, точки перегину графіка.

6. Будуємо на площині отримані характерні точки: точки перетину з осями, точки екстремумів, точки перегину. Будуємо асимптоти. І, накінець, будуємо графік функції.

Приклади дослідження функцій див. “Вказівки до розв’язування задач типового варіанту”, варіант “0”, задача 9.