Анализ суммарного иска в одной простой модели

Пусть в момент времени страховая компания заключила договоров страхования жизни. Обозначим через - премии, а через - величину страхового пособия, выплачиваемого по - ому договору в случайный момент времени . Расположим величины в порядке возрастания: . Тогда в момент времени капитал компании можно вычислить как

и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:

где - современная стоимость выплаты по - ому договору страхования. Вероятность неразорения будет вычисляться по формуле:

, (32)

которая аналогична соответствующей формуле для краткосрочного страхования жизни. То есть расчет вероятности неразорения при долгосрочном страховании производится так же, как и при краткосрочном страховании с величинами убытков .

Тогда плата за страховку будет иметь вид:

, (33)

где - нетто-премия по - ому договору, а - соответствующая страховая надбавка, которая вычисляется аналогично краткосрочному страхованию жизни.

В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:

. (34)

Следует отметить, что при более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:

а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);

б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).

Однако в любом случае для расчета страховых премий необходимо уметь вычислять современную стоимость страховых выплат, их математические ожидания и дисперсии.

Дисперсии, в некоторых случаях, вычисляются достаточно просто. Предположим, что функция принимает только два значения 0 и 1. Тогда

другими словами, дисперсия при силе роста равна разности между современной стоимостью при силе роста и квадратом при исходной силе роста .

№ 13. Страховая компания заключила 2000 договоров полного страхования жизни с величиной страхового пособия 5000 руб. Подсчитайте величину страховой премии, гарантирующей вероятность неразорения компании в 95%. Предполагается, что остаточное время жизни каждого застрахованного характеризуется постоянной интенсивностью смертности , а сила роста равна .