Полная пожизненная рента

Простейшая пожизненная рента пренумерандо описывается следующим образом: начиная с момента времени , человек один раз в начале каждого года начинает получать определенную постоянную сумму, которую примем в качестве единицы измерения денежных сумм. Выплаты этой суммы производятся только во время жизни человека, что и отличает эту страховую ренту от постоянных рент, рассмотренных в финансовой математике.

Обозначим через х возраст человека в момент времени начала платежей. Тогда выплаты будут производиться в моменты времени , где - остаточная продолжительность жизни. То есть имеем дело с годовой рентой пренумерандо со случайным числом выплат . Найдем современную стоимость такой ренты

, (1)

которая является случайной величиной. Здесь - годовая ставка дисконтирования.

Так как - современная стоимость полного дискретного страхования жизни, то

, (2)

поэтому расчет характеристик пожизненной ренты можно свести к расчету характеристик соответствующего дискретного страхования жизни.

Найдем актуарную современную стоимость пожизненной ренты (нетто-премию):

, (3)

или

. (4)

Для расчета защитной надбавки и оценки вероятности разорения компании необходимо уметь вычислять и дисперсию , а именно

, (5)

где вычисляется так же, как и в предыдущей главе.

Формула (4) получена нами так называемым методом суммарной выплаты, когда пожизненная рента рассматривается как сумма случайного числа детерминированных слагаемых. Можно применить и другой метод – метод текущего платежа, который рассматривает эту ренту как сумму детерминированного числа случайных слагаемых.

Отметим также, что если при страховании рент речь пойдет о ренте постнумерандо, когда страховые выплаты будут производиться в конце соответствующего периода, то вычисление современной стоимости будет производиться по формуле:

№ 14. Вычислите актуарную стоимость полной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года в размере 10000 руб., если годовая процентная ставка равна 20%. Возраст человека на момент заключения договора страхования – 30 лет, а продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом лет.