Далее мы будем рассматривать только вопрос об устойчивости положения равновесия в начале координат

Функции F_i в системе (1) разлагаем в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия. Отбрасываем все члены ряда выше первого порядка малости., что можно сделать только в том случае, если окрестность мала (отсюда название – устойчивость в малом).

В результате получаем линейную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эта система называется системой линеаризованных уравнений.

(22)

Подчеркнем, что коэффициенты системы (22) постоянны, так как производные вычислены в точке положения равновесия.

Вычисляем все собственные значения (корни характеристического уравнения f(p)) системы (22).

(23)

Ляпунов доказал следующую теорему.

Все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости (имеют отрицательную действительную часть). В этом случае положение равновесия асимптотически устойчиво.