Выше все построения проводились на действительной плоскости XY, удобнее работать с комплексной плоскостью «W», на которой строится кривая Найквиста.
С этой целью по заданной функции W(j ω) рассмотрим функцию W*(jω), определяемую соотношением:
W*(j ω) = U(ω) + j ωV(ω) (28)
Функцию W*(j ω) назовём модифицированной частотной характеристикой. Действительная часть W*(jω) совпадает с действительной частью W(j ω), а мнимая часть W*(jω) получается посредством умножения на ω мнимой части W(jω).
Будем изменять переменную ω от нуля до бесконечности и построим график W*(jω) на комплексной плоскости. Сопоставляя выражение (28) и (25) убеждаемся, что модифицированная частотная характеристика полностью совпадает с кривой T(ω).
Сформулируем правило применения критерия В.М.Попова для исследования абсолютной устойчивости.
1) Устанавливаем, что нелинейный блок характеризуется классом S(μ0). Исследуем устойчивость ЛСС и предельную устойчивость. Определяем число μ0. Если линейный блок содержит два интегратора, то проверяем выполнение условия (20). Строим модифицированную частотную характеристику W*(jω). Проверяем, можно ли через точку провести прямую В.М.Попова так, чтобы модифицированная частотная характеристика была целиком расположена справа от прямой В.М.Попова (т.е. в полуплоскости, содержащей начало координат). Если прямую В.М.Попова указанным образом провести возможно, то положение равновесия абсолютно устойчиво, если нет – то возможны два варианта, т.к. критерий В.М.Попова – только достаточное условие: 1) положение равновесия не является абсолютно устойчивым; 2) положение равновесия является абсолютно устойчивым, хотя критерий В.М.Попова не удовлетворяется. Ситуация поясняется на рисунках 15 (a,b,c)
|
|
a) b) c)
Рис. 15
Случай на рисунке 15a. Критерий В.М.Попова удовлетворяется, положение равновесия абсолютно устойчиво.
Случай на рисунке 15b. Провести прямую В.М.Попова через точку невозможно, т.к. она всегда пересечет W*(jω). Критерий В.М.Попова не выполняется, но вопрос об абсолютной устойчивости положения равновесия остаётся открытым.
Случай на рисунке 15c. Положение равновесия заведомо неустойчиво, т.к. неустойчива ЛСС.