Понятие комплексной частоты

Спектральные методы основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону exp (jωt).

Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида exp (pt), где p— комплексное число: p=σ +jω получившее название комплексной частоты.

Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу:

Где p*= σ - jω — комплексно-сопряженная величина.

Действительно, при этом

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы. Так, если σ=0, но ω≠0 получаются обычные гармонические колебания вида cos ωt. Если же ω=0 то в зависимости от знака σ получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда ω≠0. Здесь множитель exp (σt) описывает огибающую, которая экспоненциально изменяется во времени. Некоторые типичные сигналы изображены на рис. 2.10.

Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что это дает - возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых неинтегрируемы.