Закона Ома и Кирхгофа в комплексной форм

Рисунок 8.5

Рисунок 8.4

Найдем выражение для комплексной амплитуды тока, пользуясь соотношением: .

Сократив выражение на множитель , получаем еще одну запись закона Ома в комплексной форме:

где - комплексная проводимость индуктивности.

Укажем, что операция интегрирования реальной функции времени при переходе к комплексно-временной функции заменяется операцией деления на .

8.3 Синусоидный ток в емкости

Пусть через емкость протекает ток . Мгновенные значения тока и напряжения в емкости связаны соотношениеми:

; .

Анализ последнего выражения показывает:

1) ; , ведь напряжение в емкости отстает от тока по фазе на угол ;

2) амплитуды, равно как и реальные значения напряжения и тока, связаны законом Ома: ; . Величина , которая имеет размерность Ом, носит название емкостного сопротивления; обратная к ней величина носит название емкостной проводимости. Тогда ; .

Мгновенная мощность энергии, которая поступает в емкости, представляет:

Активная мощность P = 0, равно как и для индуктивности. Энергия электрического поля в емкости определяется по формуле:

;

Зависимость мгновенных значений u, i, p, в емкости по времени изображена на рис.8.5. Равно как и в индуктивности, происходит колебание энергии между источником и емкостью, причем активная мощность равняется нулю.

Если перейти к комплексно-временным функциям ; и подать с их помощью мгновенные значения, можно найти выражения для комплексных амплитуд тока и напряжения:

; , (8.3)

где ; - комплексные сопротивление и проводимость емкости.

Полученное выражение - это закон Ома в комплексной форме для емкости. Чтобы рассмотреть фазовые соотношения, запишем и множитель -j в показательной форме:

Это выражение подтверждает вывод, что в емкости напряжение отстает по фазе от тока на угол (рис.8.4б).

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд для электрических цепей с последовательным и параллельным соединением элементов R, L и C.

9.1 Последовательное соединение элементов R, L, C

Рассмотрим электрическую цепь, которая состоит из последовательно соединенных элементов R, L, C. Запишем согласно со вторым законом Кирхгофа уравнения для мгновенных значений падений напряжений: , или

. (9.1)

Если перейти к комплексно-временным функциям , и подставить их значения к уравнения (9.1), найдем выражение для комплексных амплитуд:

. (9.2)

С учетом выражений (8.1)-(8.3) получаем второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

. (9.3)

Если вынести за скобки значения , будем иметь

где - реактивное сопротивление цепи; R - активное сопротивление;

- комплексное сопротивление цепи.

С учетом введенных определений будем иметь уравнения

, , (9.4)

которые подают закон Ома в комплексной форме.

Комплексное сопротивление можно подать в тригонометричной и показательной формах:

, , (9.5)

где - модуль комплексного сопротивления (полное электрическое сопротивление цепи); - аргумент комплексного сопротивления; - активное сопротивление, которое равняется реальной части ; - реактивное сопротивление, которое равняется мнимой части .

Согласно с (9.4) комплексное сопротивление цепи - это комплексная величина, которая равняется части от деления комплексной амплитуды напряжения на зажимах двуполюсника на комплексный ток.:

где Z - полное сопротивление; - аргумент комплексного сопротивления.

Итак, полное сопротивление цепи (модуль ) устанавливает связь между амплитудами (действующими значениями) тока и напряжения, а аргумент комплексного сопротивления совпадает со сдвигом фаз между напряжением и током.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме с помощью векторной диаграммы.

Векторная диаграмма - изображение векторов на комплексной плоскости для одного и того же момента времени с соблюдением фазовых соотношений. Момент времени может быть любой, поскольку взаимная ориентация векторов не изменяется.

Рассмотрим векторные диаграммы для двух случаев.

1) , . Обозначим в уравнении (9.3) - напряжение на реактивном участке цепи. Напряжение на активном ребре совпадает по фазе с током , напряжение на индуктивности опережает ток на угол , а напряжение на емкости отстает от тока на угол (рис.9.1а). Итак, общее напряжение опережает ток по фазе на угол . Положительный фазовый сдвиг соответствует индуктивному характеру сопротивления цепи .

2) , (рис.9.1,б). В этом случае реактивное сопротивление цепи имеет емкостной характер (), ведь общее напряжение отстает по фазе от тока на угол . Отрицательный фазовый сдвиг соответствует емкостному характеру сопротивления .