2015-07-04
649
Для простого гармонического колебания a (t) = A 0 cos(w0 t +q0) = A 0 cosY(t)
набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t=t1 до t=t2, равен
Y(t2) -Y(t1)= (w0 t2 +q0)-(w0 t1 +q0)=w0 (t2 - t1)
При постоянной угловой частоте набег фазы за какой либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка.
Если известно, что набег фазы за время t2-t1, равен Y(t2) -Y(t1), то угловую частоту можно определить как отношение
w0= [Y(t2) -Y(t1)]/ (t2 - t1)
если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.
Из w0= [Y(t2) -Y(t1)]/ (t2 - t1) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изме-
нения фазы колебания. Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени, равенства полученные соотношения необходимо заменить интегральным и дифференциальным:
t2
[Y(t2) -Y(t1)= ò w(t)dt
t1
w(t)=d Y(t)/dt
В этих выражениях w(t) = 2p f (t) – мгновенная угловая частота колебания; f (t) – мгновенная частота сигнала.
Полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как
t
w(t)= ò w(t)dt+ q0
где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала
отсчета до рассматриваемого момента t; q0— начальная фаза колебания (в момент t=0).
При таком подходе фазу Y(t)= (w0 t +q(t), следует заменить на Y(t)= w0 t +q(t)+ q0, тогда общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т. е. A(t)=A0, а аргумент Y(t) модулирован,можно представить в виде:
A(t)=A0cos[w0 t +q(t)+ q0]
Рассмотрим пример простейшего гармонического ЧМ колебания, когда мгновенная частота определяется выражением ω (t)=ω0+ωдcosWt
Где ωд=2pfд называется девиацией частоты и представляет собой амплитуду частотного отклонения относительно частоты несущего колебания. Через ω0 и W, как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты.
Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону ω (t)=ω0+ωдcosWt, а амплитуда постоянна.
Подставляя в выражение
t
w(t)= ò w(t)dt+ q0
ω(t) из уравнения ω (t)=ω0+ωдcosWt получаем
t
Y(t)= ò (ω0+ωдcosWt) dt+ q0
0
Выполнив интегрирование, найдем:
Y(t)= (ω0t+(ωд/W)sinWt + q0
Таким образом,
a(t)=A0cos[ω0t+(ωд/W)sinWt + q0]
Фаза колебания a(t) наряду с линейно-возрастающим слагаемым ω0(t) содержит еще периодическое слагаемое (ωд/W) sinWt. Это позволяет рассматривать a(t) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция частоты по закону ωдcosWt приводит к модуляции фазы по закону (ωд/W)sinWt. Амплитуда изменения фазы равна:
qmax = ωд/W=m и называется индексом угловой модуляции.
Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от частоты ω0, а определяется исключительно девиацией ωд и модулирующей частотой W. При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции. При ЧМ девиация ωa пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции W. При ФМ величина q0max пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции W.Эти положения поясняются рис.1 (рис. 2.8,стр.89) на котором показаны частотные характеристики величин A w и max q при частотной и фазовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на вход модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной амплитудой U, a частота W изменяется от Wmin до W max.
При ЧМ ωд, зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды U, будет, постоянной величиной, а индекс модуляции m= ωд/W=ωmax с увеличением частоты будет убывать (рис. 2.8а). При ФМ m не зависит от W, а ωд =qmaxW=mW изменяется пропорционально частоте модуляции.
Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются и способом реализации. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генератора. При ФМ генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из последующих устройствах.
