Вопрос 9 Преобразования Лапласа. Комплексная частота

Преобразования Лапласа- это вид интегральных преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разнообразных задач, связанных с изучением сигналов. На практике широко применяются таблицы преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных расчетах радиотехнических устройств и систем. Преобразование Лапласа – более общий способ описания сигналов, позволяющий значительно упростить анализ прохождения сигналов через линейные цепи, особенно при быстро меняющихся импульсных воздействиях, когда важны переходные процессы.

Преобразование Лапласа использует методы контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты р = s + j w, где s и w действительные числа. Это преобразование справедливо и для тех сигналов, для которых интегралы Фурье не сходятся.

Односторонним прямым преобразованием Лапласа для функции s (t),

существующей при 0< t <¥, называется интеграл вида: Обратным преобразованием Лапласа является соотношение:

(1.14)

Сигнал s (t) называется оригиналом, а его представление по Лапласу или операторная функция называется изображением. Переход от оригинала к изображению и наоборот принято изображать символически:

Большим преимуществом преобразования Лапласа является его простая связь с преобразованием Фурье. Для этого необходимо лишь осуществить замену р «j w: S(p) «S (jw).

1.4.2. Основные свойства преобразования Лапласа

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

· Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная

комбинация изображений, т. е. если s(t)= a f(t)+ b g(t), то S(p)= a F(p)+ b G(p).

Это свойство вытекает из линейности операции преобразования Лапласа. Производная оригинала равна изображению исходного сигнала, умноженного на р, за вычетом значения оригинала в точке t =0, т. е.

· Изображение интеграла от оригинала равно изображению оригинала,деленного на р, т. е.

1.4.3.