Локализация корней

Отделить корни можно аналитически или графически. Если такие оценки исходного приближения провести не удаётся, то находят две близко расположенные точки a и b, в которых непрерывная ф-ия F(x) принимает значения разных знаков, т.е. F(a)* F(b)<0. В этом случае между точками a и b есть по крайней мере одна точка, в которой F(x)=0. В качестве начального приближения x₀, можно принять середину отрезка [ a;b ], т.е. x₀.= .

Пример 1

Отделить корни уравнения x⁴-x³-2x²+3x-3=0 аналитическим методом.

Полагая, что f(x)= x⁴-x³-2x²+3x-3, получаем производную f’(x)= 4x³-3x²-4x+3.

Найдем корни производной:

4x³-3x²-4x+3=0

4x(x²-1)-3(x²-1)=0

(4x-3)(x²-1)=0

x₁=1; x₂=-1; x₃=3/4 – точки перегиба функции.

Составим таблицу знаков функции:

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: x₁€[-∞, -1], x₂€ [1,+ ∞].

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни:

Следовательно, x₁€[-2, -1], x₂€ [1, 2].

Пример 2

Отделить корни уравнения графическим методом.

Перепишем уравнение в виде . Построим графики функций: .

Из графика видно, что уравнение имеет два корня: x₁€[0,1; 1], x₂€ [2, 3].