Метод Ньютона (метод касательных)

Его отличие от предыдущего метода состоит в том, что на k -ой итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y=F(x) при x=x₀ и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [ a;b ], содержащий корень ур-ия, достаточно найти лишь некоторое начальное приближение корня x=x₀. При этом x₀=a, если f’(x)*f’’(x)<0 (убывающая функция) и x₀=b f’(x)*f’’(x)>0 (возрастающая) на заданном отрезке.

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид:

.

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство .

Пример 4

Уточнить корень уравнения x³-0.2x²+0.5x+1.5=0, лежащий на промежутке [-1; 0] c точностью до 0,001 методом касательных.

Так как f(-1)<0 и f(0)>0 и f’’(x)<0, то за начальное приближение принимаем x₀= –1.

Находим f’(x)=3x²-0.4x+0.5. Для вычислений используем таблицу:

n	xn	xn2	xn3	f(xn)	f’(xn)
	-1		-1	-0.2	3.9	-0.051
	-0.949	0.9006	-1.8547	-0.0093	3.5814	-0.0026
	-0.9464	0.8957	-0.8477	-0.0004	3.5657	-0.00001
	-0.94639

Ответ: x≈–0.946