Метод простой итерации (метод последовательных повторений)

Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации : на отрезке [a,b].

Функция называется итерационной функцией. Эта замена может быть выполнена по формуле: , где и знак k совпадал бы со знаком f’(x) на отрезке [a,b].

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: .

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство: .

Пример 5

Уточнить корень уравнения 2x+lg(2x+3)=1, лежащий на промежутке [0; 0.5] c точностью до 0,0001.

Для уточнения корня методом итераций приведем уравнение к виду .

Функцию будем искать из соотношения .

Находим f(x)=2x+lg(2x+3)-1; f’(x)=2+0.8686/(2x+3);

;

f’(x)>0 на интервале [0; 0.5].

Примем k =2, тогда .

За начальное приближение возьмем x₀=0, все остальные приближения будем определять из равенства .

Вычисления удобно располагать в таблице:

n	xn	2xn+3	lg(2xn+3)	½*lg(2xn+3)
			0.4771	0.2386
	0.2614	3.5228	0.5469	0.2734
	0.2266	3.4532	0.5382	0.2691
	0.2309	3.4618	0.5394	0.2697
	0.2303	3.4606	0.5392	0.2696
	0.2304

Ответ: x≈0.2304

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1

Построить блок-схему решения уравнения методом половинного деления.

Задача 2

Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.

a) 2^x+5x-3=0;

b) 3x⁴+4x³-12x²-5=0;

c) e^-2x-2x+1=0;

d) .

Задача 3

Построить блок-схему решения уравнения методом хорд.

Задача 4

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

a) x-sin x=0.25;

b) tg(0.58x+0.1)=x²;

c) ;

d) .

Задача 5

Построить блок-схему решения уравнения комбинированным методом.

Задача 6

Отделить корни уравнения любым способом и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001 (воспользоваться вариантами Задачи 2).

Задача 7

Построить блок-схему решения уравнения методом итераций.

Задача 8

Отделить корни уравнения любым способом и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

a) Ln x+(x+1)³=0;

b) x*2^x=0;

c) ;

d) x²+4sin x=0.

[1] Дихотомия – в переводе с греческого – разделяю на две части.