Условная вероятность

Лекция 4

Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.

Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Условная вероятность

Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­щении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A, B, C — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности усло­вий S может произойти или не произойти.

Если при вы­числении вероятности события никаких других ограни­чений, кроме условий S, не налагается, то такую вероят­ность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность собы­тия B при дополнительном условии, что произошло со­бытие A. Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_A(В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило

Условная вероятность вычисляется по формуле

. (4.1)

Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­ность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р _А(В) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р _A(В) = P (АВ)/ P (А) (P (А) > 0).

Действительно, вероятность появления белого шара при первом ис­пытании

P (A) = 3/6 =1/2.

Найдем вероятность P (АВ) того, что в первом испытании по­явится черный шар, а во втором — белый по формуле (3.1). Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ) =9/30 = 3/10.

Условная вероятность P _А(В) = P (АВ)/ Р (А) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.