Умножение матриц

Лемма 1.1. Для любой совокупности чисел , снабженных двумя индексами i и j, где справедливо равенство

(1.1)

►Расположим заданные числа в матрицу, считая первый индекс номером строки, а второй – номером столбца. Найдем сумму всех чисел двумя способами: просуммируем числа во всех строках и сложим все полученные суммы (сумма (1.2)), а затем просуммируем числа в столбцах, и опять сложим все полученные суммы (сумма (1.3)). На основании свойств коммутативности и ассоциативности сложения чисел результаты будут одинаковыми. Вот как это выглядит:

Сравнивая (1.2) и (1.3), получаем (1.1).◄

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица AB = такая, что

: . (1.4)

Анализируя определение, замечаем, что умножать матрицы можно только в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго, т.е. если размеры матриц-сомножителей поставить рядом, то посередине должны получиться одинаковые числа, а если эти одинаковые числа зачеркнуть, то оставшиеся числа как раз и будут размерами матрицы-произведения ().

Кроме того, из формулы (1.4) видим, что для вычисления элемента матрицы-произведения, расположенного в i -й строке и k -м столбце, следует i -ю строку первого сомножителя умножить на k -й столбец второго (т. е. каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и результаты сложить, как это делается при вычислении скалярного произведения).