2015-07-21
552
Задача 1. Получить решение уравнения 
методом деления отрезка пополам с точностью 0,05. Интервал изоляции 
.
Проверим, что данных отрезок является интервалом изоляции корня. Найдем значение функции на концах этого интервала: 
, 
. Т.е. на интервале содержится корень уравнения. Проверим, что он единственный.
Следовательно, 
на всем интервале 
, а 
, т.е. функция 
монотонно возрастающая на 
, следовательно, данный интервал содержит один корень уравнения и является интервалом изоляции.
Расчеты проведем в Excel по методу деления отрезка пополам, результаты оформим в виде таблицы.
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -4 | -3.8 | -3.9 | -3 | -0.009 | 0.2 | |
| -3.9 | -3.8 | -3.85 | -0.009 | 1.405875 | 0.1 | |
| -3.9 | -3.85 | -3.875 | -0.009 | 0.705078 | 0.05 | |
| -3.9 | -3.875 | -3.8875 | -0.009 | 0.349705 | 0.025 |
Расчетные формулы:
Ответ: x=-3.8875
Задача 2. Получить решение уравнения методом простой итерации с точностью 0.001. Интервал изоляции 
.
Аналогично доказываем, что интервал является интервалом изоляции.
, 
на всем интервале , а 
, т.е. функция монотонно возрастающая на , следовательно, данный интервал является интервалом изоляции.
|
|
|
Расчетные формулы:
Найдем значения констант. Для этого вычислим значения первой и второй производных:
.
Экстремум производной функции находится в точке
.
Находим значения производной на концах отрезка
.
Таким образом, 
.
, 
.
Вычисления оформляем в таблице
|
| 
| 
| 
|
| -4 | -3 | ||
| -3.9118 | -0.35069 | 0.0882 | |
| -3.90149 | -0.05198 | 0.01031 | |
| -3.89996 | -0.0079 | 0.001528 | |
| -3.89973 | -0.0012 | 0.000232 |
Ответ: x= -3,8997
Задача 3. Получить решение уравнения методом Ньютона с точностью 0,001. Интервал изоляции .
Проверка значений интервала изоляции была сделана в примере выше. Расчетные формулы метода Ньютона:
или в нашем случае
Выбираем нулевое приближение. 
, 
, 
. Знак функции и знак второй производной совпадают на правом конце отрезка, поэтому выбираем его в качестве начального приближения 
.
Результаты представлены в таблице
|
|
|
| 
|
|
| -5 | -46 | |||
| -4.17857 | -8.89217 | 35.02423 | 0.821429 | |
| -3.92469 | -0.72721 | 29.36009 | 0.253886 | |
| -3.89992 | -0.00659 | 28.82821 | 0.024769 | |
| -3.89969 | -5.6E-07 | 28.82332 | 0.000229 |
Ответ: x=-3,89969
Задача 4. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0,05:
Проверим условие диагонального преобладания:
Условия диагонального преобладания выполняются.
Разрешим систему уравнений относительно 
Результаты можно представить в виде таблицы
|
| 
| 
| 
| 
|
| – | ||||
| -0.33333 | -0.125 | -1 | ||
| -0.01389 | -0.33333 | -1.07639 | 0.319444 | |
| -0.01157 | -0.26302 | -1.05787 | 0.070313 | |
| -0.00993 | -0.26013 | -1.04577 | 0.012105 |
