Примеры решения задач и рекомендации к экзамену

Задача 1. Получить решение уравнения методом деления отрезка пополам с точностью 0,05. Интервал изоляции .

Проверим, что данных отрезок является интервалом изоляции корня. Найдем значение функции на концах этого интервала: , . Т.е. на интервале содержится корень уравнения. Проверим, что он единственный.

Следовательно, на всем интервале , а , т.е. функция монотонно возрастающая на , следовательно, данный интервал содержит один корень уравнения и является интервалом изоляции.

Расчеты проведем в Excel по методу деления отрезка пополам, результаты оформим в виде таблицы.


-4	-3.8	-3.9	-3	-0.009	0.2
-3.9	-3.8	-3.85	-0.009	1.405875	0.1
-3.9	-3.85	-3.875	-0.009	0.705078	0.05
-3.9	-3.875	-3.8875	-0.009	0.349705	0.025

Расчетные формулы:

Ответ: x=-3.8875

Задача 2. Получить решение уравнения методом простой итерации с точностью 0.001. Интервал изоляции .

Аналогично доказываем, что интервал является интервалом изоляции.

на всем интервале , а , т.е. функция монотонно возрастающая на , следовательно, данный интервал является интервалом изоляции.

Расчетные формулы:

Найдем значения констант. Для этого вычислим значения первой и второй производных:

Экстремум производной функции находится в точке

Находим значения производной на концах отрезка

Таким образом, .

, .

Вычисления оформляем в таблице


-4	-3
-3.9118	-0.35069	0.0882
-3.90149	-0.05198	0.01031
-3.89996	-0.0079	0.001528
-3.89973	-0.0012	0.000232

Ответ: x= -3,8997

Задача 3. Получить решение уравнения методом Ньютона с точностью 0,001. Интервал изоляции .

Проверка значений интервала изоляции была сделана в примере выше. Расчетные формулы метода Ньютона:

или в нашем случае

Выбираем нулевое приближение. , , . Знак функции и знак второй производной совпадают на правом конце отрезка, поэтому выбираем его в качестве начального приближения .