Дискретные случайные величины

Факторы риска и показатели здоровья подразделяются на 2 класса — дискретных и непрерывных случайных величин, — в зависимости от того, каково множество допустимых значений этих величин.

Случайная величина ξ называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число различных значений. Между любыми двумя течениями дискретной величины может находиться лишь конечное число ее значений. Примерами дискретных величин являются:

- число случаев заболевания в определенной группе населения за 1 год;

- возраст в полных годах;

- степень тяжести заболеваний и повреждений.

Распределение дискретной случайной величины ξ полностью определено, если для каждого ее значения х_i указана вероятность его появления (обозначаемая как р_i): р_i = P Функция, устанавливающая взаимосвязь между значениями х_i и р_i, называется законом распределения или вероятностной функцией дискретной случайной величины. Эта функция может быть задана различными способами: в виде табли­цы, графика или аналитической зависимости. Например, табличный способ задания закона распределения дискретной случайной величины имеет следующий вид:

ξ:

Сумма вероятностей р_i, по всем значениям индекса i равна 1, и для любого значения х значение функции распределения F(х) равно сумме вероятностей р_i по всем x_i ≤ х. Таким образом, F(х) есть ступенчатая функция, сохраняющая постоянное значение на любом интервале, не содержащем точек х_i, а в каждой точке x_i имеющая скачок на величину р_i.

При оценке рисков наиболее часто приходится иметь дело со следующими видами распределения дискретных случайных величин:

Дискретное равномерное распределение. Для случайных величин, распределенных по дискретному равномерному закону, каждое из п возможных значений x₁,..., х_n принимается с вероятностью 1/n (р_i, = 1/n для любого i). Такие случайные величины используются в качестве модели событий с равновероятными исходами. Так например, если организация технологического процесса такова, что персонал подразделяется на 4 равных по численности группы в зависимости от характера контакта с агентом риска:

1 — контакт с агентом риска исключен;

2 — эпизодические непродолжительные контакты;

3 — систематические непродолжительные контакты;

4 — постоянный контакт с агентом риска в течение всего рабочего времени, то распределение персонала по уровням данного фактора риска является равномерным (рис. 4.1, 4.2).

Распределение Бернулли описывает случайные величины, принимающие два значения — 0 и 1 — с вероятностями, соответственно, q = 1 - р и р. Показатель р называется параметром распределения. Случайные величины, распределенные по закону Бернулли, служат моделью событий с двумя возможными исходами (например, наличие или отсутствие заболевания). Распределение Бернулли может быть использовано для описания индивидуального риска (например, если величина р равна вероятности смерти от рака в результате воздействия канцерогена, то она является характеристикой канцерогенного риска).

При р = q = 1/2 распределение Бернулли является частным случаем равномерного.

Распределение Пуассона (рис. 4.3, 4.4). Случайная величина, принимающая счетное множество значений 0, 1, 2,... (любое неотрицатель­ное целое число) с вероятностями.

₌

где функция і! (факториал целого числа і) определяется следующим образом:

= 1, а для любого = ( )

Величина λ называется параметром распределения Пуассона. Распределение Пуассона является хорошей моделью для оценки риска отдельных взаимно независимых эффектов фактора риска, например, вероятности определенного числа травм в расчете на 1 человеко-год на травмоопасном производстве. Рис. 4.3 и 4.4 иллюстрируют такую ситуацию для различных значений параметра λ: при λ = 2 наиболее вероятны 1 или 2 случая травм на 1 человеко-год, при λ = 5 – 4 или 5 случаев.