Полная вероятность

Рассматриваемая здесь формула полной вероятности используется в целях оценки индивидуального риска в случае недостатка информации о величине воздействия на конкретного человека (например, если для конкретного случая воздействия фактора риска неизвестна экспозиция, но известны вероятности и величины последствий для всех возможных в данной ситуации уровней экспозиции).

Если события А₁, А₂,..., А_п образуют полную систему, то из условия их попарной независимости и полноты для любого события В формулу условной вероятности можно записать следующим образом:

P(B) = P(B| )P( ) + P(B| )P( ) + … + P(B| )P( ).

Эта формула называется формулой полной вероятности. Она используется для определения вероятности события В (например, возникновения заболевания у отдельного человека, подвергающегося воздействию некоторого фактора риска) в случае, когда об этом событии известны только его условные вероятности при условии реализации некоторого набора других событий, образующего полную систему (например, установленные в эпидемиологических исследованиях вероятности возникновения данного заболевания, соответствующие различным уровням этого фактора).

Пример 3. Некоторый фактор риска (событие А) имеет 3 различных уровня А₁, А₂, А₃, встречающиеся с частотой 60, 30 и 10% соответственно, причем вероятности возникновения заболевания, связанного с данным фактором (событие В), для этих уровней равны соответственно 50, 70 и 90%. Требуется оцепить вероятность заболевания для человека, подвергшегося воздействию фактора, при условии, что уровень воздействия неизвестен.

Решение. Для заданных условий P( ) = 0,6; P(A₂) = 0,3; P(A₃) = 0,1; P(B| ) = 0,5; P(B| ) = 0,7; P(B| ) = 0,9. Тогда по формуле полной вероятности находим:

P(B) = 0,6 · 0,5 + 0,3 · 0,7 + 0,1 · 0,9 = 0,3 + 0,21 + 0,09 = 0,6.

Формула Байеса

Оценки риска тем более надежны, чем большее число наблюдений использовано для их вычисления. Накопление информации в процессе социально-гигиенического мониторинга позволяет постоянно уточнять ранее полученные оценки медицинских рисков. Уточнение оценок осуществляется с помощью так называемой формулы Байеса, которая выводится из рассмотренных выше формул условной вероятности и формулы умножения вероятностей.

При решении задачи уточнения рисков исходные значения вероятностей событий А_i, т.е. Р(А_i), называются априорными (доопытными) вероятностями гипотез А_i, а полученные по формуле Байеса вероятности Р(А_i|В) — апостериорными (полученными в результате опыта, в котором наступило событие В) вероятностями гипотез А_i.

Формула Байеса выводится следующим образом. Из формулы умножения вероятностей имеем:

P( B) = P( |B)P(B) = P(B| )P( ),

Откуда

P( |B) = .

Подставляя в эту формулу выражение Р(В) из формулы полной вероятности, получим

P( |B) =

Эта формула называется формулой Байеса, или формулой вероятности гипотез, и используется для коррекции имеющейся информации о вероятности событий на основе результатов новых испытаний.

Пример 4. В примере 3 приведены оценки вероятностей для каждого из трех уровней фактора риска, т. е. априорные оценки, известные прежде, чем обследован еще один человек, подвергшийся воздействию данного фактора. Требуется определить уточненные (апостериорные) вероятности уровней фактора риска, если известно, что новый обследуемый заболел в результате воздействия данного фактора.

Решение. Формула Байеса дает следующие результаты:

P(A₁|B) = 0,6 · = 0,5,

P(A₂|B) = 0,3 · = 0,35,

P(A₃|B) = 0,1 · = 0,15.

Таким образом, результат дополнительного наблюдения привел к уменьшению вероятности для наименее опасного уровня фактора риска и к увеличению вероятности для уровней, которым соответствует более высокая заболеваемость.

Задача 1. Вычислить апостериорные вероятности различных уровней фактора риска при условии, что обследуемый не заболел.

Решение. В задаче требуется определить апостериорные вероятности событий А₁, А₂, А₃ при условии отсутствия заболевания, т.е. события , являющегося дополнением к событию В.

P(A₁) = 0,6; P(A₂) = 0,3; P(A₃) = 0,1;

P(B̄) = 1 – P(B) = 0,4,

P(B̄|A₁) = 1 – P(B|A₁) = 0,5,

P(B̄|A₂) = 1 - P(B|A₂) = 0,3,

P(B̄|A₃) = 1 - P(B|A₃) = 0,1.

Тогда

P(A₁|B̄) = 0,6 · = 0,75,

P(A₂|B̄) = 0,3 · = 0,225,

P(A₃|B̄) = 0,1 · = 0,025.

Таким образом, наблюдаемое отсутствие заболевания у обследуемого приводит к необходимости пересмотреть вероятность наименее опасного уровня фактора риска в сторону увеличения, а вероятности уровней, соответствующих более высоким вероятностям заболевания, — в сторону снижения.