Производная функции одной переменной

8.1. Определение производной функции в точке.

- внутренняя точка из области определения, т.е. она лежит в области определения вместе с некоторой своей окрестностью ().

- приращение переменной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если предел существует и конечен, то функция называется дифференцируемой в точке .

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

8.2. Односторонние производные. Связь непрерывности функции в точке с существованием конечной производной.

- производная слева функции в точке .

- производная справа функции в точке .

не лежит в области определения.

По теореме о связи существования конечного предела с односторонним пределом:

.

Т. О связи непрерывности функции в точке с существованием конечной производной.

Если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

По условию

(по определению) непрерывна в точке , ч.т.д.

Обратное не верно.

Пример 1: в точке непрерывна, т.к.

не существует производной.

Пример 2:

(т.к. - б.м., - ограниченная)

непрерывна в точке

не существует.

8.3. Правила вычисления производной. Таблица производных.

()

1)

2)

3)

Доказательство:

4)

Доказательство:

5)

Доказательство:

Обозначим .

при в силу непрерывности .

, ч.т.д.

6) где непрерывна в точке .

Доказательство:

при , т.к. непрерывна.

, ч.т.д.

7)

Доказательство:

, ч.т.д.

8)

Доказательство:

, ч.т.д.

9)

Доказательство:

, ч.т.д.

10)

Доказательство:

, ч.т.д.

11)

Доказательство:

, ч.т.д.

12)

Доказательство:

, ч.т.д.

13)

Доказательство:

, ч.т.д.

14)

Доказательство:

, ч.т.д.

15)

Доказательство:

, ч.т.д.

16)

Доказательство:

, ч.т.д.

17)

Доказательство:

, ч.т.д.

Таблица производных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

8.4. Физический и геометрический смысл производной.

- путь, пройденный к моменту .

Зафиксируем .

- путь, пройденный к моменту .

- путь, пройденный за время .

(средняя скорость)

(мгновенная скорость)

Физический смысл производной: .

Геометрический смысл:

(угол наклона секущей AB).

Если , то т. B т. A и секущая становится касательной.

- угол наклона к оси касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной и нормали.

найдем из условия, что точка лежит на прямой.

- уравнение касательной в точке .

Нормаль – прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной.

- уравнение нормали в точке .

8.5. Степенно-показательная функция. Логарифмическое дифференцирование.

- степенно-показательная функция.

Если точка такая, что и непрерывны в этой точке и , тогда тоже непрерывна в точке (по теореме о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций).

.

Вычисление производной:

1)

2) - уравнение для логарифмического дифференцирования.

Пример:

Логарифмическое дифференцирование употребляется не только при дифференцировании степенно-показательных функций, но и когда это упрощает вычисления.

8.6. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

Функция дифференцируема в точке, если ее приращение представимо в виде суммы главной линейной части относительно приращения переменной (дифференциала) и бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение переменной.

.

Пример:

- главная линейная часть (дифференциал).

Т. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

(функция дифференцируема в точке ) .

Доказательство:

() (необходимость)

Пусть дифференцируема в точке

, ч.т.д.

() (достаточность)

Пусть

- б.м. при .

, где - главная линейная часть (дифференциал), , ч.т.д.

Пример: не дифференцируема в точке .

- не существует конечной производной, значит функция не дифференцируема.

Если производная в точке равна , то в этой точке вертикальная касательная.

Если , то

Привала для вычисления дифференциала.

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

, ч.т.д.

5) Инвариантность дифференциала

- независимая переменная.

Пусть . , тогда . Т.к. , то .

Инвариантность дифференциала заключается в том, что дифференциал всегда имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на приращение этой переменной - не зависимо от того, будет ли эта переменная независимой, либо сама будет функцией от некоторой переменной.

Геометрический смысл дифференциала.

Геометрический смысл состоит в том, что он равен приращению, которое получает касательная к графику в точке при переходе от точки к точке .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

- приращение функции ().

При малых .

дифференцируема в точке , т.е.

- уравнение для приближенных вычислений значений функций.

Пример 1:

Пример 2: º

º=

8.7. Производные высших порядков.

- внутренняя точка области определения.

Пусть в некоторой везде существует производная: .

Т.о. определена в окрестности , - внутренняя точка области определения для .

Аналогично определяется производная третьего порядка и т.д.

Пример 1:

Пример 2:

Правила для вычисления .

1)

2)

3) - формула Лейбница

Доказательство: (ММИ)

Обозначим ,

тогда второе слагаемое примет вид .

Заменим m на k. .

Пример:

8.8. Функции, заданные параметрически. Производная функции, заданной параметрически.

задана параметрически: .

Физический смысл:

Это можно понимать как координаты точки на плоскости в момент времени .

Иногда параметр можно выразить из системы и представить функцию в явном виде.

- функция задана явно.

Как считать производную функции, заданной параметрически, если нельзя выразить функцию явно?

Пример 1:

Пример 2: Написать уравнение касательной к функции в точке .

- уравнение касательной в точке .

8.9. Производная функции, заданной неявно.

Неявное задание – один из способов задания функции.

- уравнение задает функцию .

Пример:

- функция задана явно

Как считать производную функции, заданной неявно?

Нужно равенство дифференцировать как тождество, считая независимой переменной, а - функцией от .

Пример 1:

Пример 2:

Можно упрощать, используя первоначальное уравнение .

8.10. Дифференциалы высшего порядка.

Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала первого порядка.

Дифференциал первого порядка – это функция от двух переменных: и приращения .

Зафиксируем :

(1)

Свойства дифференциала -того прядка.

1)

2)

3)

4) Свойство инвариантности, справедливое для дифференциала первого порядка, для дифференциала -того прядка не верно.

(2)

Формулы (1) и (2) отличаются вторым слагаемым. Если оно не равно нулю, то свойство инвариантности не выполняется.

Если , то свойство инвариантности выполняется.

8.11. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Т.1. Теорема Ферма.

Пусть:1) функция определена на промежутке

2) - внутренняя точка промежутка

3) функция в точке принимает наибольшее значение, т.е. для всех других точек

4) существует конечная производная в точке .

Тогда .

Доказательство:

По условию .

(по условию), значит

, значит

, ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если в точке, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, существует касательная, то она параллельна оси .

Т.2. Теорема Роля.

Пусть:1) определена и непрерывна на отрезке

2)

3) .

Тогда внутри отрезка найдется точка, в которой производная функции обращается в нуль, т.е.

Доказательство:

Пусть

I сл) , тогда

II сл) . Поскольку функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то одно из значений (либо , либо ) достигается во внутренней точке . Тогда для точки выполняются все условия теоремы Ферма, значит , ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Роля: если функция удовлетворяет условиям теоремы Роля, тогда найдется точка, в которой касательная параллельна оси .

Т.3. Теорема Лагранжа.

Пусть:1) определена и непрерывна на отрезке

2)

Тогда найдется точка внутри отрезка такая, что производная в этой точке будет равна , т.е. .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

удовлетворяет условиям теоремы Роля (непрерывна, как разность двух непрерывных функций, дифференцируема).

По теореме Роля

, ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

- угол наклона секущей, проходящей через точки и .

- угол наклона касательной в точке , т.е. внутри отрезка найдется точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки и .

Формула конечных приращений Лагранжа.

Т.4. Теорема Коши

Пусть:1) и определены и непрерывны на отрезке

2)

Тогда .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

непрерывна и дифференцируема на , , т.е. удовлетворяет условиям теоремы Роля, значит

, ч.т.д.

8.12. Правила Лопиталя.

Правила Лопиталя – правила для вычисления предела функции (раскрытие неопределенности или ).

Т.1. Пусть: 1) и определены на

2) дифференцируемы на ,

3)

4)

Тогда. .

Доказательство: (по теореме Коши)

Доопределим и в точке по непрерывности:

Замена: при , тогда

, ч.т.д.

Т.2. Пусть: 1) и определены на

2) дифференцируемы на ,

3)

4)

Тогда. .

Доказательство:

Пусть для определенности. Замена: .

, по Т.1.

, ч.т.д.

, где

Т.3. Пусть: 1) и определены на

2) дифференцируемы на ,

3)

4)

Тогда. .

Пусть: 1) и определены на

2) дифференцируемы на ,

3)

4)

Тогда. .

, где

Пример 1: ,

Степенная функция растет быстрее логарифмической при .

Пример 2:

Показательная функция (при ) растет быстрее степенной при .

Пример 3:

Пример 4:

8.13. Формула Тейлора и Маклорена для многочлена.

, , , …, .

Коэффициенты многочлена выражаются через его значение и производные.

- формула Маклорена (разложение по степеням ).

По формуле Маклорена:

, , , , …, .

, …

- формула Тейлора для многочлена (разложение по степеням ).

8.14. Формула Тейлора и Маклорена для произвольной функции.

Пусть - функция такая, что у нее существуют производные до , т.е. все производные от 1 до существуют в некоторой окрестности точки .

- многочлен Тейлора для функции в точке .

- формула Тейлора ( - остаточный член).

Формула Тейлора с остаточным в форме Пеано.

, при

Доказательство:

Докажем, что , при , т.е. .

, …

, ч.т.д.

Для приложения формулы Тейлора нужны более конкретные формы.

Наложим на функцию более сильные ограничения.

Пусть в некоторой окрестности точки () существуют .

Возьмем , между и .

Составим функцию

Вычислим :

Выберем другую (произвольную) функцию такую, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Коши в , и запишем теорему Коши для функций и .

, где между и .

Подставляя разные функции , получаем разные виды остаточного члена.

1) Остаточный член в форме Лагранжа.

, где между и - формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

2) Остаточный член в форме Коши.

,

, где между и , - формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши.

3) Остаточный член в форме Шлемильха и Роша.

, где между и - формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.

Многочлен Тейлора – многочлен наилучшего приближения для функции в окрестности точки , т.е. из всех многочленов фиксированной степени в окрестности точки лучше всего функцию приближает именно многочлен Тейлора.

8.15. Разложение по формуле Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций.

, при

1)

, при .

2)

, при .

3)

, при .

4)