При построении частотных характеристик удобно пользоваться относительными единицами, так как при этом сокращается число параметров и становиться возможным пользоваться стандартными кривыми.
Например, в качестве аргумента вместо частоты ω, может быть взята относительная частота ω/ω0 , т.е. отношение текущей частоты к резонансной. Кроме того, применяется также относительная расстройка частоты, о которой будет сказано ниже.
Рассмотрение частотных характеристик последовательного контура начнем с зависимостей от относительной частоты комплексного сопротивления контура, отнесенного к сопротивлению r, его модуля и угла аргумента. Согласно (7.Ι) с учетом (7.2) и (7.4)
(7.II)
Соответственно модуль равен:
а аргумент
Рис. 7.6 Частотные зависимости относительного сопротивления (а)
и угла (б) фазового сдвига
На рис. 7.6 показаны зависимости z/r и φ от относительной частоты ω/ω0.
Каждая из этих зависимостей представляет семейство кривых параметра Q.
Семейство кривых z/r проходит через точку с координатами ω/ω0=I, z/r=I, которая соответствует условию резонанса. Семейство кривых φ проходит через точку ω/ω0=I, φ=, которая также соответствует резонансу.
|
|
Ток в цепи, отнесенный к току I0 при резонансе, равен
(7.I4)
Частотную зависимость модуля (7.I5)
принято называть амплитудно-частотной характеристикой или резонансной кривой тока.
Частотная зависимость угла фазового сдвига тока относительно приложенного напряжения называется фазо-частотной или просто фазовой характеристикой тока; она выражается зависимостью (7-I3).
Положительные значения фазовой характеристики соответствуют отстающему, а отрицательные – опережающему по фазе току.
Как и следовало ожидать, при частотах ниже резонансной, когда емкостное сопротивление преобладает над индуктивным, сопротивление последовательного контура имеет активно-емкостный характер.
При частотах выше резонансной сопротивление контура становится активно-индуктивным, причем с дальнейшим ростом частоты φ стремится к 900.
На рис. 7-7,а показано семейство резонансно кривых тока в относительных единицах.
Рис. 7.7 Частотные зависимости тока
Также как и зависимость z/r, кривые I/I0 для разных Q проходят при резонансе через точку с координатами (I,I)
Если по оси ординат откладывать ток I (вместо отношения I/I0), то максимумы резонансных кривых тока, построенных для разных значений r, не совпадут в одной точке (рис.7.7,б).
Величина , входящая в выражения (7.II)-(7.I5) может быть названа обобщенной расстройкой контура: она учитывает отклонение частоты от резонансной и добротность Q. Из (7.II) следует, что обобщенная расстройка ξ в случае последовательного контура равна отношению реактивного сопротивления контура к r:
|
|
.
Если по оси абсцисс откладывать не относительную частоту ω/ω0, а обобщенную расстройку ξ, то каждая из зависимостей z/r, I/I0 и φ вместо семейства кривых представится одной «нормированной кривой» (рис. 7.8).
Рис.7.8 Нормированные характеристики сопротивления (а), тока (б) и угла (в)
; (7.I7)
Наибольший интерес в частотной характеристике представляет ее часть вблизи точки резонанса. В этой области частот
, так как вблизи точки резонанса
ω+ω=2 ω0 (7.I8).
В выражении (7.I8) величина Δω=ω- ω0 называется расстройкой контура (абсолютной). Она положительна при ω >ω0 и отрицательна при ω <ω0 .
Условимся называть относительной расстройкой величину δ=Δω/ω0. Тогда вблизи точки резонанса
(7.I8)
С учетом (7.I8,a) выражение (7.I2), (7.I3) и (7.I5) упрощается и принимают вид, более удобный для практических расчетов:
; ; (7.I9)
Выражение (7.I9) достаточно точны при δ <0.1. При δ=0,2 погрешность в сопротивлении не менее 10 %.
Чем выше добротность контура Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величин Q, характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»), согласно (7.I3), чем больше отношение энергии, запасенной в колебательном контуре к энергии, рассматриваемой в контуре за один период, тем острее резонансная кривая.
Полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток снижается почти до =0.707 максимального (резонансного) значения I0, принято называть полосой пропускания колебательного контура. При токе I=I0/ мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:
т.е составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют, как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границах полосы пропускания колебательного контура активное и реактивное сопротивления равны по величине: r=|x| .
Это следует из условия что даёт .
Соответственно и фазовый сдвиг между напряжением на зажимах цепи и током составляет 450: на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер(ток опережает напряжение) и φ=450; на верхней границе комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток остает от напряжения) и φ=450 .
На основании (7.I7) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:
или ξ=-+1. (7.20)
Итак, на границах полосы пропускания обобщенная расстройка по абсолютной величине равна единице. Вблизи резонанса . Поэтому можно записать 2Qδ=I, откуда относительная расстройка частоты на границах полосы пропускания равна и .
Следовательно, при высокой добротности контура полоса пропускания практически симметрична относительно резонансной частоты и находится из условия или . (7.21)
Для контура с невысокой добротностью решение уравнения (7.20) дает:
.
Причем условие (7-21) остается в силе.
Если задана резонансная кривая тока, то для нахождения добротности контура удобно пользоваться формулой
. (7.22)
Предыдущие расчетные формулы и частотные характеристики относились к колебательному контуру, питаемому источником э.д.с. E(рис.7.1). Если колебательный контур подключен к источнику напряжения с внутренним сопротивлением r, то последнее, добавляясь к сопротивлению r, влияет на добротность и полосу пропускания контура: чем больше r, тем ниже «эквивалентная добротность»
и тем шире полоса пропускания
Поэтому для получения по возможности более узкой полосы пропускания последовательного колебательного контура выгоден источник напряжения с малым внутренним сопротивлением.