Производная функции высшего порядка

Существует f’(x) " xÎ(a,b), тогда эта производная сама является функцией х g(х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует g’(x) " xÎ(a,b), то мы называем её второй производной g’(x)ºf’’(x)

Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа1)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)¹0, "xÎ(a,b), тогда $ с Î (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)¹g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)II (b-a)III¹0 ($c₁Î(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-lg(X) где l -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-lg(b)

---

F(a)=f(a)-lg(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-l(g(b)-g(a)) Þl=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля4

$сÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-lg’(c) Þ l=f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.