Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или ¥/¥ при вычисление пределов.
Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х0), g’(x0)¹0 в О°(х0), f(x0)=g(x0)=0 и $
lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда $ lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k
x®x° x®x° x®x°
Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x0)]/g(x)-g(x0)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= | $ c=c(x) лежащая между х их0 если
x®x° x®x° x®x°
х®х0 то с®х0 | =lim f’(x)/g’(x)=k
x®x°
Замечание(1): f(x0)=g(x0)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х0 f(x) и
x®x° x®x°
g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x0)=g(x0)=0
Замечание(2): Если $ f’(x0) и g’(x0), g’(x0)¹0, то утверждение теоремы будет:
lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x0)(f’(x0)+a(x-x0))]/ [(x-x0)(g’(x0)+b (x-x0))]=f’(x0)/g’(x0)
x®x° x®x° x®x°
Теорема: (¥/¥) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О°(х0), g'(x)¹0 и О°(х0), дифференцируемы в О°(х0) и
lim f(x)=lim g(x)=¥; $ lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k
x®x° x®x° x®x° x®x° x®x°
Без доказательства!
Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:
f(x)=ex g(x)=xn x®¥
lim ex/xn= lim ex/1!=¥ "nÎ N lim ex/xn= lim ex/nxn-1= lim ex/[n(n-1)xn-2]=lim ex/n!=+¥
x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥
f(x)=lnx
x®+¥
g(x)=xn
lim lnx/xn= lim (1/x)/nxn-1= lim 1/nxn=0
x®+¥ x®+¥ x®+¥